Una función puede dejar de ser continua de tres formas distintas: con un huequito que se puede tapar, con un salto, o con una explosión al infinito. Cada una tiene su nombre y se diagnostica con los límites laterales.
La función no está definida en un punto, pero el límite sí existe. Es como un agujero pequeño en la gráfica. Se llama "evitable" porque si rellenas ese hueco con el valor del límite, la función se vuelve continua.
La función g(x) = (x²−1)/(x−1) que vimos en la lección 1: g(1) no existe (sale 0/0), pero el límite cuando x se acerca a 1 vale 2. Falla la condición 1: f(a) no existe. Discontinuidad evitable. Si definimos g(1) = 2, ya no hay agujero.
Los dos límites laterales existen pero no coinciden. La función "salta" de un valor a otro. Falla la condición 2: el límite no existe (porque los laterales son distintos). No hay forma de taparlo redefiniendo un punto — el salto es real.
Ejemplo: la función escalón de la lección 2 (vale 1 a la izquierda de x=2, vale 3 a la derecha). Es imposible "arreglarla" en ese punto.
Al menos uno de los límites laterales es ±∞. La función "explota" — se va al infinito. Falla la condición 2: el límite no existe (o es infinito). Ejemplo: 1/x en x=0 (lección 3). La línea punteada vertical en la gráfica es la asíntota vertical — una línea imaginaria que la función se acerca pero nunca puede cruzar, como si hubiera una pared invisible. Tampoco se puede arreglar.
1) ¿Existen ambos límites laterales (números finitos)? ╠═ NO → es discontinuidad INFINITA ╚═ SÍ → siguiente pregunta 2) ¿Los dos laterales son IGUALES? ╠═ NO → es discontinuidad de SALTO ╚═ SÍ → es discontinuidad EVITABLE (puedes definir f(a) = ese valor común para "arreglarla")
Ahora usamos todo lo aprendido sobre límites para definir, de forma rigurosa, qué es una derivada — la siguiente lección.