LECCIÓN 2

Límites laterales

A veces acercarse por la izquierda y por la derecha da resultados distintos. La función se comporta de un modo "viniendo desde arriba" y de otro "viniendo desde abajo". Para esto están los límites laterales.

Recuerda de la lección anterior: un límite es el valor al que se acerca una función cuando la entrada se acerca a un punto — sin importar si la función llega o no a ese punto. La notación es lim_x→a f(x) = L. Hoy descubrimos qué pasa cuando acercarse por la izquierda y por la derecha da resultados distintos.

1La idea — dos caminos distintos al mismo punto

Antes vimos que acercar x al valor a por ambos lados llegaba al mismo sitio. Pero no siempre pasa. Mira esta función de "escalón":

f(x) = { 1 si x < 2 ; 3 si x ≥ 2 }

imagen 1 · función con un salto en x = 2

Acercándose a x=2 desde la izquierda → f(x) tiende a 1. Desde la derecha → f(x) tiende a 3. Resultados distintos.

2La notación de los límites laterales

Para distinguir desde qué lado nos acercamos, se añade un signo pequeño junto al valor:

lim_{x → a⁻} f(x) = "por la izquierda"

lim_{x → a⁺} f(x) = "por la derecha"

El − (menos) significa "valores menores que a, acercándome desde la izquierda". Se lee completo: "el límite de f de x cuando x tiende a a por la izquierda".
El + (más) significa "valores mayores que a, acercándome desde la derecha". Se lee: "el límite de f de x cuando x tiende a a por la derecha".

✍️ Aplicado a nuestra función escalón en x = 2

lim_{x → 2⁻} f(x) = 1     (viniendo de la izquierda, f vale 1)
lim_{x → 2⁺} f(x) = 3     (viniendo de la derecha, f vale 3)

3La regla de oro

🔑 El límite (sin signo) existe SOLO SI los dos límites laterales existen y son IGUALES. Si por la izquierda llega a un sitio y por la derecha a otro, el límite "a secas" no existe. Tiene sentido: si no hay un único valor al que se acerque, no podemos decir "el" valor.

🤔 Puede chocar que "el límite no existe" cuando la función tiene valor a ambos lados. Pero fíjate: un límite requiere un único valor. Si por la izquierda llegas a 1 y por la derecha a 3, ¿cuál es "el" límite? No hay uno solo. Por eso decimos que no existe — no que la función no exista, sino que el límite no existe.

Caso	lim_x→a⁻	lim_x→a⁺	lim_x→a
Coinciden	5	5	5 ✓
NO coinciden	1	3	¡no existe!
Uno se va a infinito*	2	muy grande	no existe

*El caso "infinito" se estudia en detalle en la próxima lección.

En nuestra función escalón de arriba: los dos laterales son distintos (1 y 3), así que lim_x→2 f(x) no existe. Punto.

4Otro ejemplo clásico: |x|/x

La función f(x) = |x| / x vale:

Primero: el valor absoluto |x| es el número x sin signo — siempre positivo. Ejemplos: |3| = 3, |−2| = 2, |−5| = 5. Quita el signo negativo si lo hay.

1 cuando x > 0 (por ejemplo, |3|/3 = 3/3 = 1)
−1 cuando x < 0 (por ejemplo, |−2|/(−2) = 2/(−2) = −1 — el valor absoluto quita el signo del numerador, pero no del denominador)
no existe en x = 0 (sería 0/0)

✍️ Sus límites laterales en x = 0

lim_{x → 0⁻} |x|/x = -1     (por la izquierda, vale -1)
lim_{x → 0⁺} |x|/x = 1      (por la derecha, vale 1)
                              ↓
lim_{x → 0} |x|/x = no existe  (los dos laterales son distintos)

5Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: los límites laterales miran a qué se acerca f(x) solo desde un lado — izquierda (a⁻) o derecha (a⁺). El límite "completo" existe solo si los dos laterales coinciden en el mismo valor. Si no coinciden, hay un salto y el límite no existe. El valor absoluto |x| es el número sin signo.

En la próxima lección: ¿qué pasa cuando una función no se acerca a un número, sino que crece sin parar hacia el infinito?