LECCIÓN 2

Límites laterales

A veces acercarse por la izquierda y por la derecha da resultados distintos. La función se comporta de un modo "viniendo desde arriba" y de otro "viniendo desde abajo". Para esto están los límites laterales.

1La idea — dos caminos distintos al mismo punto

En la lección 1 acercábamos x al valor a desde ambos lados y nos llegaba al mismo sitio. Pero no siempre pasa. Mira esta función de "escalón":

f(x) = { 1 si x < 2 ; 3 si x ≥ 2 }

imagen 1 · función con un salto en x = 2

Acercándose a x=2 desde la izquierda → f(x) tiende a 1. Desde la derecha → f(x) tiende a 3. Resultados distintos.

2La notación de los límites laterales

Para distinguir desde qué lado nos acercamos, se añade un signo pequeño junto al valor:

lim_{x → a⁻} f(x) = "por la izquierda"

lim_{x → a⁺} f(x) = "por la derecha"

El − (menos) significa "valores menores que a, acercándome desde abajo".
El + (más) significa "valores mayores que a, acercándome desde arriba".

✍️ Aplicado a nuestra función escalón en x = 2

lim_{x → 2⁻} f(x) = 1     (viniendo de la izquierda, f vale 1)
lim_{x → 2⁺} f(x) = 3     (viniendo de la derecha, f vale 3)

3La regla de oro

🔑 El límite (sin signo) existe SOLO SI los dos límites laterales existen y son IGUALES. Si por la izquierda llega a un sitio y por la derecha a otro, el límite "a secas" no existe. Tiene sentido: si no hay un único valor al que se acerque, no podemos decir "el" valor.

Caso	lim_x→a⁻	lim_x→a⁺	lim_x→a
Coinciden	5	5	5 ✓
NO coinciden	1	3	¡no existe!
Uno no existe	2	∞	no existe

En nuestra función escalón de arriba: los dos laterales son distintos (1 y 3), así que lim_x→2 f(x) no existe. Punto.

4Otro ejemplo clásico: |x|/x

La función f(x) = |x| / x (valor absoluto dividido por x) vale:

1 cuando x > 0 (por ejemplo, 3/3 = 1)
−1 cuando x < 0 (por ejemplo, |−2|/−2 = 2/−2 = −1)
no existe en x = 0 (sería 0/0)

✍️ Sus límites laterales en x = 0

lim_{x → 0⁻} |x|/x = -1     (por la izquierda, vale -1)
lim_{x → 0⁺} |x|/x = 1      (por la derecha, vale 1)
                              ↓
lim_{x → 0} |x|/x = no existe  (los dos laterales son distintos)

5Resumen

Los límites laterales miran a qué se acerca f(x) solo desde un lado: izquierda (a⁻) o derecha (a⁺). El límite "completo" existe solo si los dos laterales coinciden. Si no coinciden, hay un salto y el límite no existe. Próxima lección: ¿qué pasa cuando una función no se acerca a un número, sino que se va al infinito?