Dos preguntas nuevas: ¿qué le pasa a f cuando x se va al infinito? Y al revés, ¿qué pasa cuando f explota — se va al infinito — al acercarse a un punto? Ambos casos son cotidianos.
Hasta ahora x se acercaba a un punto concreto a. Pero también podemos preguntar: ¿qué
le pasa a f(x) cuando x crece sin parar (hacia +∞) o se vuelve muy negativo
(hacia −∞)? La notación:
Léelo: "cuando x crece infinitamente, f(x) se acerca a L".
x = 10 → 1/10 = 0.1
x = 100 → 1/100 = 0.01
x = 1.000 → 1/1000 = 0.001
x = 10⁶ → 0.000001
↓
limx → ∞ (1/x) = 0 (se acerca a cero, sin llegar nunca)
El otro caso: x se acerca a un punto y f(x) crece sin parar. La función "explota".
Escribimos = ∞ (o = −∞) para indicarlo. Ejemplo legendario: 1/x
cuando x se acerca a 0.
limx → 0⁺ (1/x) = +∞ (por la derecha: 1/0.001 = 1000, gigante positivo) limx → 0⁻ (1/x) = -∞ (por la izquierda: 1/(-0.001) = -1000, gigante negativo) ↓ limx → 0 (1/x) = no existe (los laterales son distintos)
lim = ∞ es una abreviatura
de "la función crece sin parar". Estrictamente, el límite no existe (no hay un valor real al que se
acerque). Pero la notación = ∞ es útil para describir el comportamiento.
| Caso | Resultado | Intuición |
|---|---|---|
| limx→∞ (1/x) | 0 | uno dividido por algo enorme = casi 0 |
| limx→∞ x² | +∞ | algo grande al cuadrado = más grande aún |
| limx→∞ (1/xⁿ) | 0 | cualquier potencia positiva en el denominador |
| limx→0 (1/x²) | +∞ | siempre positivo, explota |
| limx→∞ e−x | 0 | exponencial decreciente |