Dos preguntas nuevas: ¿qué le pasa a f cuando x se va al infinito? Y al revés, ¿qué pasa cuando f explota — se va al infinito — al acercarse a un punto? Ambos casos son cotidianos.
a⁻ y derecha a⁺) deben coincidir para que el límite "completo" exista. Hoy ampliamos el concepto: ¿qué pasa cuando x se va muy lejos, o cuando la función "explota"?
Hasta ahora x se acercaba a un punto concreto a. Pero también podemos preguntar: ¿qué
le pasa a f(x) cuando x crece sin parar (hacia +∞) o se vuelve muy negativo
(hacia −∞)? El símbolo ∞ se lee "infinito" y significa "sin límite, creciendo siempre". La notación:
Léelo: "cuando x crece infinitamente, f(x) se acerca a L".
¿Por qué dividir entre un número muy grande da casi cero? Piénsalo así: si tienes 1 pastel y lo repartes entre 1000 personas, a cada una le toca 0.001 de pastel — casi nada. Cuanto más grande el divisor, más pequeño el trozo.
x = 10 → 1/10 = 0.1
x = 100 → 1/100 = 0.01
x = 1000 → 1/1000 = 0.001
x = 1000000 → 0.000001
↓
limx → ∞ (1/x) = 0 (se acerca a cero, sin llegar nunca)
El otro caso: x se acerca a un punto y f(x) crece sin parar. La función "explota". ¿Por qué? La misma razón al revés: si el divisor se hace diminuto, el resultado crece sin límite. 1 ÷ 0.001 = 1000, 1 ÷ 0.000001 = 1000000. Cuando el divisor tiende a cero, el resultado tiende a infinito.
A ese comportamiento se le llama asíntota vertical: la función se acerca a una línea vertical pero nunca puede cruzarla — como si hubiera una pared invisible en ese valor de x. Escribimos = ∞ (o = −∞) para indicarlo. Ejemplo legendario: 1/x cuando x se acerca a 0.
limx → 0⁺ (1/x) = +∞ (por la derecha: 1/0.001 = 1000, gigante positivo) limx → 0⁻ (1/x) = -∞ (por la izquierda: 1/(-0.001) = -1000, gigante negativo) ↓ limx → 0 (1/x) = no existe (los laterales son distintos)
lim = ∞ es una abreviatura
de "la función crece sin parar". Estrictamente, el límite no existe (no hay un valor real al que se
acerque). Pero la notación = ∞ es útil para describir el comportamiento.
| Caso | Resultado | Intuición |
|---|---|---|
| limx→∞ (1/x) | 0 | uno dividido por algo enorme = casi 0 |
| limx→∞ x² | +∞ | algo grande al cuadrado = más grande aún |
| limx→∞ (1/xⁿ) | 0 | cualquier potencia n positiva en el denominador (n = 2, 3, 4…) |
| limx→0 (1/x²) | +∞ | siempre positivo, explota por ambos lados |
| limx→∞ e−x | 0 | e es un número especial ≈ 2.718; e−x decrece hasta cero (lo verás en la lección 11) |
x → ∞), la función puede acercarse a cero (como 1/x), crecer (como x²), o estabilizarse. Cuando x se acerca a un punto y la función explota (lim = ∞), hay una asíntota vertical — una pared imaginaria que la función nunca cruza. El símbolo ∞ no es un número: es una abreviatura de "crece sin parar".
En la próxima lección aprenderás a calcular límites en general — con propiedades y trucos en vez de hacer tablas a mano.