Hasta ahora hicimos tablas para ver a dónde se acerca f(x). Eso funciona, pero es lento. Hay trucos: propiedades sencillas y algunas mañas que resuelven el 90% de los límites en segundos.
Si la función es "bien portada" en el punto (continua — la lección 6), el límite se calcula con el método más simple del mundo: sustituye x por a y calcula.
limx → 2 x² = 2² = 4 ↑ ya lo sabíamos limx → 3 (5x + 1) = 5·3 + 1 = 16 limx → 0 (cos x) = cos 0 = 1 limx → 4 √x = √4 = 2
Estas propiedades parecen evidentes (y lo son), pero conviene tenerlas explícitas:
| Propiedad | Lo que dice |
|---|---|
| Suma | lim (f + g) = lim f + lim g |
| Resta | lim (f − g) = lim f − lim g |
| Producto | lim (f · g) = (lim f) · (lim g) |
| Cociente | lim (f / g) = (lim f) / (lim g) si lim g ≠ 0 |
| Constante | lim (k · f) = k · lim f |
| Potencia | lim (fⁿ) = (lim f)ⁿ |
O sea: el límite "respeta" las operaciones aritméticas. Puedes calcular los límites de los trozos y luego combinarlos.
limx→2 (3x² + 5x − 1)
= 3·(limx→2 x²) + 5·(limx→2 x) − 1
= 3·4 + 5·2 − 1
= 12 + 10 − 1
= 21
Más directo: sustituir x=2 da 3·4 + 5·2 − 1 = 21. Mismo resultado, menos teatro.
El problema viene cuando sustituir da algo indefinido como 0/0. Ejemplo de la lección 1:
Sustituir x=1: (1−1)/(1−1) = 0/0. Indeterminado. Necesitamos una maña — simplificar antes de sustituir:
x² − 1 = (x − 1)(x + 1) diferencia de cuadrados (x² − 1) / (x − 1) = (x − 1)(x + 1) / (x − 1) = x + 1 cancelamos (x−1) — válido porque x ≠ 1 Ahora SÍ podemos sustituir: limx → 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 ¡el mismo 2 que vimos en la lección 1!
Cuando hay raíces y sustituir da 0/0, multiplicar arriba y abajo por el "conjugado" ayuda. Ejemplo:
(√(x+1) − 1) (√(x+1) − 1)·(√(x+1) + 1) (x+1) − 1 x
─────────── = ─────────────────────────── = ─────────── = ───
x x·(√(x+1) + 1) x·(√(x+1)+1) x(√(x+1)+1)
= 1 / (√(x+1) + 1)
Ahora sustituimos x = 0:
= 1 / (√1 + 1)
= 1 / 2
= 0.5