Hasta ahora hicimos tablas para ver a dónde se acerca f(x). Eso funciona, pero es lento. Hay trucos: propiedades sencillas y algunas mañas que resuelven el 90% de los límites en segundos.
Si la función no tiene huecos ni saltos en ese punto (más adelante, en la lección 6, le pondremos nombre a esto: se llama función continua), el límite se calcula con el método más simple del mundo: sustituye x por a y calcula.
limx → 2 x² = 2² = 4 ↑ ya lo sabíamos limx → 3 (5x + 1) = 5·3 + 1 = 16 limx → 0 (cos x) = cos 0 = 1 limx → 4 √x = √4 = 2
Estas propiedades dicen que el límite "respeta" las operaciones aritméticas. El símbolo · (punto elevado) es otra forma de escribir multiplicación — igual que ×:
| Propiedad | Lo que dice |
|---|---|
| Suma | lim (f + g) = lim f + lim g |
| Resta | lim (f − g) = lim f − lim g |
| Producto | lim (f · g) = (lim f) · (lim g) |
| Cociente | lim (f / g) = (lim f) / (lim g) si lim g ≠ 0 |
| Constante | lim (k · f) = k · lim f |
| Potencia | lim (fⁿ) = (lim f)ⁿ |
O sea: el límite "respeta" las operaciones aritméticas. Puedes calcular los límites de los trozos y luego combinarlos.
limx→2 (3x² + 5x − 1)
= 3·(limx→2 x²) + 5·(limx→2 x) − 1
= 3·4 + 5·2 − 1
= 12 + 10 − 1
= 21
Más directo: sustituir x=2 da 3·4 + 5·2 − 1 = 12 + 10 − 1 = 21. Mismo resultado en menos pasos.
El problema viene cuando sustituir da algo indefinido como 0/0. Ejemplo de la lección 1:
Sustituir x=1: (1−1)/(1−1) = 0/0. Indeterminado. Necesitamos una maña — simplificar antes de sustituir:
La clave es que x² − 1 se puede reescribir como (x − 1)(x + 1). ¿Cómo sabemos eso? Podemos verificarlo multiplicando hacia atrás: (x−1)(x+1) = x·x + x·1 − 1·x − 1·1 = x² + x − x − 1 = x² − 1. ¡Sí, da lo mismo! A esta identidad se le llama "diferencia de cuadrados" y sirve siempre que tengas algo² − otra_cosa².
x² − 1 = (x − 1)(x + 1) verificado: (x−1)(x+1) = x²−1 ✓ (x² − 1) / (x − 1) = (x − 1)(x + 1) / (x − 1) = x + 1 cancelamos (x−1) arriba y abajo — válido porque x ≠ 1 (≠ significa "distinto de") Ahora SÍ podemos sustituir: limx → 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 ¡el mismo 2 que vimos en la lección 1!
Cuando hay raíces y sustituir da 0/0, existe un truco que se llama conjugado. El conjugado de una expresión como √(x+1) − 1 es la misma expresión con el signo del medio cambiado: √(x+1) + 1. Si multiplicas una expresión por su conjugado, la raíz desaparece, porque (a−b)(a+b) = a²−b² — los dos términos del medio se cancelan. Vamos a ver cómo se aplica:
¿Por qué funciona? Porque (a−b)(a+b) = a²−b². Aquí a = √(x+1) y b = 1:
(√(x+1) − 1)·(√(x+1) + 1) = (√(x+1))² − 1² = (x+1) − 1 = x
Entonces:
(√(x+1) − 1) (√(x+1) − 1)·(√(x+1) + 1) (x+1) − 1 x
─────────── = ─────────────────────────── = ─────────── = ──────────
x x·(√(x+1) + 1) x·(√(x+1)+1) x(√(x+1)+1)
= 1 / (√(x+1) + 1) la x se cancela arriba y abajo
Ahora sustituimos x = 0:
= 1 / (√(0+1) + 1)
= 1 / (√1 + 1) √1 = 1 porque 1×1 = 1
= 1 / (1 + 1)
= 1 / 2
= 0.5
La próxima lección entra de lleno en esos casos peliagudos: las indeterminaciones — los 7 tipos de expresiones donde no puedes sustituir directamente.