Cuando intentas calcular un límite y te sale algo como "0/0" o "∞−∞", no te asustes — solo significa que necesitas más trabajo. Estos son los casos donde el cálculo se vuelve interesante.
Una indeterminación es una expresión que sale al sustituir directamente y que NO da una respuesta clara — porque matemáticamente es ambigua. ¿Por qué 0/0 es ambigua? Porque 0 dividido entre 0 podría valer cualquier cosa dependiendo del contexto. Necesitas más información (el resto de la función) para saber qué vale realmente. Las formas indeterminadas más comunes:
Las cuatro primeras (0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞) son las que aparecen con más frecuencia — en esta lección verás cómo resolverlas. Las últimas tres (0⁰, 1∞, ∞⁰) son más raras; por ahora solo debes saber que existen.
Mira estos tres límites. Los tres dan 0/0 al sustituir, pero el resultado real es totalmente distinto:
(a) limx → 0 (3x / x)
sustituyendo x=0: 0/0 (¡indeterminado!)
pero 3x/x = 3 (cancelamos x)
→ límite = 3
(b) limx → 0 (x² / x)
sustituyendo: 0/0
pero x²/x = x
→ límite = 0
(c) limx → 0 (x / x²)
sustituyendo: 0/0
pero x/x² = x/(x·x) = 1/x (cancelamos una x de arriba con una de abajo)
→ límite = +∞ (por la derecha) o -∞ (por la izquierda)
Conclusión: el "0/0" no decide nada por sí solo. Depende de qué tan rápido el numerador y el denominador se acercan a cero.
Si numerador y denominador tienen un factor común que se anula en el punto, cancélalo. (Ejemplo de la lección 4: la función con hueco.)
Cuando aparece una raíz, multiplica arriba y abajo por el "conjugado" (cambias el signo del medio). Las raíces desaparecen. (También en lección 4.)
limx → ∞ (3x² + 5x − 1) / (x² + 7)
→ sustituir da ∞/∞. Dividimos cada término arriba y abajo por x² (la potencia más alta):
3x² ÷ x² = 3
5x ÷ x² = 5/x
1 ÷ x² = 1/x²
x² ÷ x² = 1
7 ÷ x² = 7/x²
= (3 + 5/x − 1/x²) / (1 + 7/x²)
→ cuando x → ∞, todos los términos con 1/x o 1/x² se van a 0:
= (3 + 0 − 0) / (1 + 0) = 3
Suma las dos partes en un denominador común (como cuando sumas fracciones: ½ + ⅓ → busca el denominador común 6, reescribe ³⁄₆ + ²⁄₆). Suele convertir un ∞ − ∞ en un 0/0 o ∞/∞ que ya sabes tratar.
Hay un truco muy poderoso que aprenderás después de dominar la derivada (lección 8). Derivar es una operación que aplicamos a una función para obtener otra función — por ahora solo debes saber que existe. Para indeterminaciones 0/0 o ∞/∞, puedes derivar el numerador y el denominador por separado y volver a intentar el límite. Se llama regla de L'Hôpital:
El símbolo f' se lee "efe prima" y es la notación para "la derivada de f". Lo dominarás en la lección 8. Por ahora solo anota que existe esta herramienta para cuando estés atascado.
La próxima lección abre un nuevo bloque: continuidad — cuándo una función no tiene huecos ni saltos, y por qué eso facilita calcular límites.