Cuando intentas calcular un límite y te sale algo como "0/0" o "∞−∞", no te asustes — solo significa que necesitas más trabajo. Estos son los casos donde el cálculo se vuelve interesante.
Una indeterminación es una expresión aparente que sale al sustituir directamente, y que NO da una respuesta clara. Las más comunes:
Mira estos tres límites. Los tres dan 0/0 al sustituir, pero el resultado real es totalmente distinto:
(a) limx → 0 (3x / x)
sustituyendo x=0: 0/0 (¡indeterminado!)
pero 3x/x = 3 (cancelamos x)
→ límite = 3
(b) limx → 0 (x² / x)
sustituyendo: 0/0
pero x²/x = x
→ límite = 0
(c) limx → 0 (x / x²)
sustituyendo: 0/0
pero x/x² = 1/x
→ límite = +∞ (por la derecha) o -∞ (por la izquierda)
Conclusión: el "0/0" no decide nada por sí solo. Depende de qué tan rápido el numerador y el denominador se acercan a cero.
Si numerador y denominador tienen un factor común que se anula en el punto, cancélalo. (Ejemplo de la lección 4: la función con hueco.)
Cuando aparece una raíz, multiplica arriba y abajo por el "conjugado" (cambias el signo del medio). Las raíces desaparecen. (También en lección 4.)
limx → ∞ (3x² + 5x − 1) / (x² + 7)
→ sustituir da ∞/∞. Dividimos arriba y abajo por x² (la potencia más alta):
= (3 + 5/x − 1/x²) / (1 + 7/x²)
→ cuando x → ∞, todos los términos con 1/x o 1/x² se van a 0:
= (3 + 0 − 0) / (1 + 0) = 3
Suma las dos partes en un común denominador. Suele convertir un ∞ − ∞ en un 0/0 o ∞/∞ que ya sabes tratar.
Hay un truco muy poderoso (técnicamente lo verás más adelante, pero te lo dejo apuntado): para indeterminaciones 0/0 o ∞/∞, deriva el numerador y deriva el denominador por separado, y vuelve a intentar el límite. Se llama regla de L'Hôpital:
De momento no sabes derivar (eso está en la lección 8 en adelante), pero ten esto en mente: cuando llegues allá, vas a tener una herramienta súper potente para destrozar indeterminaciones.