LECCIÓN 8 · DERIVADAS

La derivada — definición formal

Aquí se juntan todas las piezas. La derivada NO es magia: es un límite particular, el del cociente "subida/avance" cuando el avance se vuelve diminuto. La definición rigurosa, en una línea.

Recuerda de las lecciones anteriores: aprendiste qué es un límite (el valor al que se acerca una función), cómo calcularlo, y cuándo existe. Ahora aplicamos todo eso a una pregunta concreta: ¿cuál es la pendiente exacta de una curva en un punto? La respuesta va a ser una definición que usa un límite.

1La pendiente y el paso diminuto

Imagina que tienes una curva y quieres saber qué tan "inclinada" está en un punto concreto. Si tomas dos puntos de la curva y calculas la pendiente entre ellos, obtienes una aproximación. Pero mientras más juntos estén los dos puntos, mejor es la aproximación. La derivada es ese valor exacto cuando la distancia entre los dos puntos se hace infinitamente pequeña.

Usamos la letra h para llamar a esa distancia — es solo un nombre para "el pequeño avance en x". Si estamos en x=3 y damos un paso de h=0.1, llegamos a x+h = 3.1. La pendiente entre esos dos puntos es:

(f(x + h) − f(x)) / h — la "subida" dividida entre el "avance"

Cuando h se hace diminuto (h → 0), esa pendiente se acerca a la pendiente exacta en x. Eso último es un límite.

2La definición oficial

f'(x) = lim_{h → 0} [ f(x + h) − f(x) ] / h

Léelo paso por paso:

f'(x) se lee "efe prima de x" — es la derivada de f en el punto x. El apóstrofe es la notación para "derivada".
f(x + h) − f(x) es la "subida" — cuánto cambia f cuando movemos x en h.
÷ h — "subida dividida entre avance" — es la pendiente del trozo.
lim_{h → 0} — encogemos h hasta que se hace diminuto: la pendiente exacta.

Nota: también verás la notación dy/dx (se lee "de-y-sobre-de-x") que significa exactamente lo mismo. La usamos cuando queremos destacar que es el cambio en y dividido entre el cambio en x.

🤔 Este cálculo tiene varios pasos. Si en algún momento te pierdes, vuelve al principio de la sección y reléelo: es normal necesitar dos lecturas.

🎯 Una sola línea encierra TODO el cálculo diferencial. Esta fórmula te dice exactamente qué hacer para calcular cualquier derivada desde principios primeros. Las "reglas" que veremos en la lección 9 son atajos derivados de aplicar este límite a funciones específicas.

3Apliquémosla a f(x) = x² (lo hicimos antes intuitivamente)

Calculemos f'(x) para f(x) = x² usando la definición:

✍️ Derivada de x² paso a paso

f'(x) = lim_{h → 0} [ f(x+h) − f(x) ] / h
      = lim_{h → 0} [ (x+h)² − x² ] / h

1) desarrollar (x+h)²:
   (x+h)² = x² + 2xh + h²

2) restar x²:
   (x+h)² − x² = (x² + 2xh + h²) − x² = 2xh + h²

3) dividir entre h:
   Como h aparece multiplicando en TODOS los términos del numerador,
   podemos factorizarlo: 2xh + h² = h·(2x + h)
   Entonces: h·(2x + h) / h = 2x + h    (la h de arriba y de abajo se cancelan)

4) tomar el límite cuando h → 0:
   lim_{h → 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x

→ f'(x) = 2x        ¡la "regla de la potencia" para n=2!

Fíjate qué bonito: el cociente original era 0/0 al sustituir h=0 directamente (indeterminación), pero simplificándolo antes (lección 4) salió un resultado limpio. La derivada es, por excelencia, una indeterminación 0/0 bien resuelta.

4Otro ejemplo: f(x) = 1/x

✍️ Derivada de 1/x

f'(x) = lim_{h → 0} [ 1/(x+h) − 1/x ] / h

1) común denominador en el numerador (como al sumar fracciones):
   Multiplicamos la primera fracción por x/x y la segunda por (x+h)/(x+h):
   x/[x(x+h)] − (x+h)/[x(x+h)] = [x − (x+h)] / [x(x+h)] = -h / [x(x+h)]

2) dividir entre h:
   (-h / [ x(x+h) ]) / h = -1 / [ x(x+h) ]   cancelando h

3) tomar el límite cuando h → 0:
   lim_{h → 0} -1 / [ x(x+h) ] = -1 / (x · x) = -1/x²

→ f'(x) = -1/x²

5Cuándo NO existe la derivada

El límite que define la derivada puede no existir. En tres situaciones típicas:

Esquinas / picos (como |x| — el valor absoluto — en x=0): la pendiente "salta" de un valor a otro, los laterales del límite no coinciden.
Pendiente vertical: la pendiente se va a infinito (la función sube o baja demasiado rápido en ese punto).
Discontinuidades: si f no es continua en x, no es derivable ahí.

🔗 Importante: derivable ⇒ continua (siempre). Pero continua NO implica derivable (hay funciones continuas con esquinas). |x| es continua en todas partes, pero no derivable en 0.

6Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: la derivada f'(x) (también escrita dy/dx) es un límite — el del cociente "subida/avance" cuando el avance h se hace diminuto: f'(x) = lim_h→0 [f(x+h)−f(x)]/h. Para f(x) = x², la derivada es 2x. Para f(x) = 1/x, es -1/x². Aplicar esta definición a cada función sería lento — por eso en la próxima lección aprendes los atajos.

En la próxima lección aprendes las reglas de derivación (potencia, suma, producto, cociente) — atajos que ya están demostrados a partir de esta definición.