LECCIÓN 8 · DERIVADAS

La derivada — definición formal

Aquí se juntan todas las piezas. La derivada NO es magia: es un límite particular, el del cociente "subida/avance" cuando el avance se vuelve diminuto. La definición rigurosa, en una línea.

1Recordemos: la pendiente y el paso diminuto

En el curso del gradiente ya viste la idea: la pendiente "media" entre x y x+h vale (f(x+h) − f(x)) / h, y cuando h se hace diminuto, esa pendiente se acerca a la "pendiente exacta" en x. Pues bien — eso último es un límite.

2La definición oficial

f'(x) = lim_{h → 0} [ f(x + h) − f(x) ] / h

Léelo paso por paso:

f'(x) (con apóstrofe) es la derivada de f en el punto x.
f(x + h) − f(x) es la "subida" (cambio en f cuando movemos x por h).
÷ h es "subida/avance" — la pendiente del trozo.
lim_{h → 0} = "encogemos h hasta que se hace diminuto".

🎯 Una sola línea encierra TODO el cálculo diferencial. Esta fórmula te dice exactamente qué hacer para calcular cualquier derivada desde principios primeros. Las "reglas" que veremos en la lección 9 son atajos derivados de aplicar este límite a funciones específicas.

3Apliquémosla a f(x) = x² (lo hicimos antes intuitivamente)

Calculemos f'(x) para f(x) = x² usando la definición:

✍️ Derivada de x² paso a paso

f'(x) = lim_{h → 0} [ f(x+h) − f(x) ] / h
      = lim_{h → 0} [ (x+h)² − x² ] / h

1) desarrollar (x+h)²:
   (x+h)² = x² + 2xh + h²

2) restar x²:
   (x+h)² − x² = (x² + 2xh + h²) − x² = 2xh + h²

3) dividir entre h:
   (2xh + h²) / h = 2x + h          (cancelando h en ambos términos)

4) tomar el límite cuando h → 0:
   lim_{h → 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x

→ f'(x) = 2x        ¡la "regla de la potencia" para n=2!

Fíjate qué bonito: el cociente original era 0/0 al sustituir h=0 directamente (indeterminación), pero simplificándolo antes (lección 4) salió un resultado limpio. La derivada es, por excelencia, una indeterminación 0/0 bien resuelta.

4Otro ejemplo: f(x) = 1/x

✍️ Derivada de 1/x

f'(x) = lim_{h → 0} [ 1/(x+h) − 1/x ] / h

1) común denominador en el numerador:
   1/(x+h) − 1/x = [ x − (x+h) ] / [ x(x+h) ] = -h / [ x(x+h) ]

2) dividir entre h:
   (-h / [ x(x+h) ]) / h = -1 / [ x(x+h) ]   cancelando h

3) tomar el límite cuando h → 0:
   lim_{h → 0} -1 / [ x(x+h) ] = -1 / (x · x) = -1/x²

→ f'(x) = -1/x²

5Cuándo NO existe la derivada

El límite que define la derivada puede no existir. En tres situaciones típicas:

Esquinas / picos (como |x| en x=0): la pendiente "salta" de un valor a otro, los laterales del límite no coinciden.
Tangente vertical: la pendiente se va a infinito (como ∛x en x=0).
Discontinuidades: si f no es continua en x, no es derivable ahí.

🔗 Importante: derivable ⇒ continua (siempre). Pero continua NO implica derivable (hay funciones continuas con esquinas). |x| es continua en todas partes, pero no derivable en 0.

6Resumen

La derivada f'(x) es un límite: el del cociente de incrementos cuando el incremento de x se hace diminuto. f'(x) = lim_h→0 [f(x+h)−f(x)]/h. Calcular cada derivada así sería tedioso — por eso en la próxima lección aprendemos las reglas (potencia, suma, producto, cociente) que son atajos demostrados a partir de esta definición.