Aplicar el límite cada vez sería un dolor. Estas reglas — todas demostradas a partir de la definición — son los atajos que usarás siempre. Apréndete cinco y derivas el 90% de funciones del mundo.
Para cualquier número n (incluso decimal o negativo): bajas el exponente al frente y le restas uno.
f(x) = x⁵ → f'(x) = 5x⁴ f(x) = x → f'(x) = 1 (x = x¹, bajas el 1 y queda x⁰ = 1) f(x) = x^(1/2) = √x → f'(x) = (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x) f(x) = x^(-1) = 1/x → f'(x) = -1·x^(-2) = -1/x² (coincide con la lección 8 ✓)
Una constante no cambia, su ritmo de cambio es cero.
f(x) = 7 → f'(x) = 0 f(x) = π → f'(x) = 0 f(x) = -123.45 → f'(x) = 0
Derivas cada término por separado y los sumas. Lo mismo con restas.
f'(x) = derivada de 3x² + derivada de 5x + derivada de (-7)
= 3·(2x) + 5·(1) + 0
= 6x + 5
Nota la "regla del múltiplo": la derivada de k·f(x) es k·f'(x) (las constantes salen multiplicando como si nada).
"Deriva el primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo." Tres términos siempre.
f = u · v con u = x², v = sin(x)
u' = 2x
v' = cos(x)
f' = u' · v + u · v'
= 2x · sin(x) + x² · cos(x)
= 2x·sin(x) + x²·cos(x)
"Derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo dividido por abajo al cuadrado."
Truco para memorizarla: el orden importa porque hay un menos. Numerador: "alta-baja − alta-baja-derivada". Denominador: el de abajo al cuadrado.
u = x+1, u' = 1
v = x², v' = 2x
f' = (u' · v − u · v') / v²
= (1·x² − (x+1)·2x) / (x²)²
= (x² − 2x² − 2x) / x⁴
= (-x² − 2x) / x⁴
= -x·(x+2) / x⁴
= -(x+2) / x³
| Regla | Si f(x) = | Entonces f'(x) = |
|---|---|---|
| Constante | k | 0 |
| Identidad | x | 1 |
| Potencia | xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| Múltiplo | k · f(x) | k · f'(x) |
| Suma | f(x) + g(x) | f'(x) + g'(x) |
| Producto | f(x) · g(x) | f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) |
| Cociente | f(x) / g(x) | (f'·g − f·g') / g² |