LECCIÓN 9 · DERIVADAS

Las reglas de derivar

Aplicar el límite cada vez sería un dolor. Estas reglas — todas demostradas a partir de la definición — son los atajos que usarás siempre. Apréndete cinco y derivas el 90% de funciones del mundo.

Recuerda de la lección anterior: la derivada f'(x) mide la pendiente exacta de una función en un punto. Se define como un límite: f'(x) = lim_h→0 [f(x+h)−f(x)]/h. Hoy aprendes los atajos para no tener que calcular ese límite cada vez.

1Regla de la potencia (la que más usarás)

derivada de xⁿ = n · xⁿ⁻¹

Para cualquier número n (incluso decimal o negativo): bajas el exponente al frente y le restas uno.

✍️ Ejemplos rápidos

f(x) = x⁵     →    f'(x) = 5x⁴
f(x) = x       →    f'(x) = 1                (x = x¹, bajas el 1 y queda x⁰ = 1)
f(x) = x^(1/2) = √x   →   f'(x) = (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x)
f(x) = x^(-1) = 1/x   →   f'(x) = -1·x^(-2) = -1/x²   (coincide con la lección 8 ✓)

2Regla de la constante (la más fácil)

derivada de un número fijo = 0

Una constante no cambia, su ritmo de cambio es cero.

✍️ Ejemplos

f(x) = 7       →    f'(x) = 0
f(x) = π       →    f'(x) = 0
f(x) = -123.45  →    f'(x) = 0

3Regla de la suma (deriva por trozos)

derivada de (f + g) = f' + g'

Derivas cada término por separado y los sumas. Lo mismo con restas.

✍️ f(x) = 3x² + 5x − 7

f'(x) = derivada de 3x²   +  derivada de 5x   +  derivada de (-7)
      = 3·(2x)            +  5·(1)           +  0
      = 6x + 5

Nota la "regla del múltiplo": la derivada de k·f(x) es k·f'(x) — las constantes salen multiplicando. Por ejemplo: f(x) = 5x³ → f'(x) = 5·3x² = 15x². Y si quieres saber cuánto cambia f en el punto x=2: f'(2) = 15·4 = 60.

4Regla del producto (cuidado: NO es f' · g')

derivada de (f · g) = f' · g + f · g'

"Deriva el primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo." Tres términos siempre.

⚠️ El error #1 es pensar que (f·g)' = f'·g'. FALSO. Hay que usar la fórmula completa con suma. Memoriza: "el primero por la derivada del segundo, más el segundo por la derivada del primero".

✍️ Derivar f(x) = x² · (x + 3)

f = u · v   con u = x², v = (x + 3)

u' = 2x          (regla de la potencia)
v' = 1           (x + 3 derivado: la x da 1, el 3 da 0)

f' = u' · v + u · v'
   = 2x · (x+3) + x² · 1
   = 2x² + 6x + x²
   = 3x² + 6x

Evaluación en x=2: f'(2) = 3·4 + 6·2 = 12 + 12 = 24

Nota: si tuvieras f(x) = x²·sin(x) la misma mecánica funciona igual. Sin(x) se estudia en la lección 11 — por ahora solo necesitas saber que tiene su propia derivada, y el producto se aplica igual.

5Regla del cociente (la fea — paciencia)

derivada de (f / g) = (f' · g − f · g') / g²

"Derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo dividido por abajo al cuadrado."

Truco para memorizarla: el orden importa porque hay un menos. Numerador: "alta-baja − alta-baja-derivada". Denominador: el de abajo al cuadrado.

✍️ Derivar f(x) = (x + 1) / x²

u = x+1,  u' = 1
v = x²,   v' = 2x

f' = (u' · v − u · v') / v²
   = (1·x² − (x+1)·2x) / (x²)²
   = (x² − 2x² − 2x) / x⁴
   = (-x² − 2x) / x⁴
   Factorizamos −x del numerador: −x² − 2x = −x·(x + 2)    (verificar: −x·x = −x², −x·2 = −2x ✓)
   = -x·(x+2) / x⁴
   Cancelamos una x: queda -(x+2) / x³
   = -(x+2) / x³

6Tabla resumen de las reglas

Regla	Si f(x) =	Entonces f'(x) =
Constante	k	0
Identidad	x	1
Potencia	xⁿ	n · xⁿ⁻¹
Múltiplo	k · f(x)	k · f'(x)
Suma	f(x) + g(x)	f'(x) + g'(x)
Producto	f(x) · g(x)	f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Cociente	f(x) / g(x)	(f'·g − f·g') / g²

7Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: cinco reglas para derivar sin calcular el límite cada vez — constante (da 0), identidad (da 1), potencia (baja el exponente), suma (deriva por partes) y cociente ("arriba-prima×abajo − arriba×abajo-prima, dividido entre abajo²"). Con ellas puedes derivar cualquier combinación de polinomios y cocientes.

Falta la regla más importante de todas: la regla de la cadena, para derivar cuando hay una función dentro de otra. Esa es la que usa una red neuronal cada vez que entrena.