LECCIÓN 10 · DERIVADAS

La regla de la cadena

La regla más importante (y más usada) del cálculo. Para derivar funciones "metidas una dentro de otra" — y casi todas las funciones reales lo están. Es el motor matemático del backpropagation.

Recuerda de la lección anterior: aprendiste las reglas básicas para derivar — potencia, constante, suma, producto y cociente. Hoy aprendes la más importante: cómo derivar cuando una función está metida dentro de otra.

1Funciones compuestas — una función dentro de otra

Una función compuesta es una función dentro de otra. Ejemplo: (x² + 1)³ es cubo(algo), donde "algo" es a su vez x² + 1.

Para derivar esto NO basta con las reglas de la lección 9: hay que tratar las dos funciones por capas. Eso es la regla de la cadena.

2La regla

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

El símbolo ∘ significa "compuesta con" o "aplicada sobre" — (f ∘ g)(x) significa "primero aplica g a x, y luego aplica f al resultado". Es lo mismo que f(g(x)).

En palabras claras: deriva la función "de fuera" sin tocar lo de dentro, multiplica por la derivada de lo de dentro. Es como pelar una cebolla por capas.

🎯 La receta operativa:

Identifica qué función es la de fuera y cuál la de dentro.
Deriva la de fuera y déjala con "lo de dentro" intacto.
Multiplica por la derivada de lo de dentro.

3Ejemplo paso a paso: (x² + 1)³

✍️ Derivar f(x) = (x² + 1)³

1) función "de fuera": ( · )³   ← elevar al cubo
   función "de dentro": x² + 1

2) derivada de la de fuera (sin tocar dentro):
   derivada de u³ = 3u²  →  con u = x² + 1:  3(x² + 1)²

3) derivada de la de dentro:
   derivada de x² + 1 = 2x

4) multiplicar (regla de la cadena):
   f'(x) = 3(x² + 1)² · 2x
        = 6x · (x² + 1)²

Evaluación en x=1: f'(1) = 6·1·(1+1)² = 6·4 = 24
(Significa que en x=1 la función sube 24 unidades por cada unidad que avanza x)

4Otro: derivar √(3x + 7)

✍️

1) de fuera: √( · ) = ( · )^(1/2)
   de dentro: 3x + 7

2) derivada de fuera: (1/2)·u^(-1/2) = 1/(2√u)  →  1/(2√(3x+7))

3) derivada de dentro: 3

4) multiplicar:
   f'(x) = 1/(2√(3x+7)) · 3
        = 3 / (2√(3x+7))

5Y si hay tres niveles… aplica la cadena dos veces

La regla se aplica recursivamente. sin((x²+1)³) se desmonta así. Nota: la derivada de sin(x) es cos(x) — esto lo demostraremos en la lección 11. Por ahora acéptalo como un dato:

🤔 Este ejemplo tiene tres capas. No te preocupes si necesitas releerlo dos veces — es normal. Lo importante es ver la mecánica: cada capa añade un factor más al producto.

✍️ f(x) = sin((x²+1)³)

capas:  sin( ___ )         ← más exterior
        ( x²+1 )³           ← media
        x² + 1              ← más interior

1) derivada de sin(algo) = cos(algo)   (lo verás en la lección 11)
   →  cos((x²+1)³)

2) multiplicar por derivada de (algo)³ = 3·(algo)² · (derivada de dentro)
   →  cos((x²+1)³) · 3(x²+1)² · 2x

f'(x) = 6x · (x²+1)² · cos((x²+1)³)

6Conexión con redes neuronales

🧠 Una red neuronal es una función compuesta gigante. Cada capa (una etapa de procesamiento) es una función, y se apilan unas sobre otras — la salida de una es la entrada de la siguiente. Para entrenar la red necesitamos calcular cómo cambia el error (la diferencia entre lo que predice y la respuesta correcta) al ajustar cada valor interno (los "pesos" — números que la red aprende). Como la red es una cadena de funciones compuestas, eso requiere aplicar la regla de la cadena capa por capa. Eso es, en esencia, backpropagation.

7Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: la regla de la cadena dice que para derivar una función compuesta, derivas la de fuera (sin tocar el interior) y multiplicas por la derivada del interior. (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Si hay más capas, aplicas la cadena repetidamente. Esta regla es la base matemática del backpropagation en redes neuronales.

La próxima lección añade las derivadas de las funciones que más aparecen: trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.