Las derivadas de las funciones "no-polinómicas" más usadas. Si nunca has oído hablar de seno, coseno o logaritmos, no te preocupes — aquí los presentamos desde cero. No necesitas entender su origen para usar sus derivadas.
El seno (sin) y el coseno (cos) son funciones que describen cómo varía algo que oscila — como una ola, un sonido, o el movimiento de un péndulo. Si en ningún momento of "ángulos" o "triángulos", no pasa nada: aquí solo importa que cuando la curva del seno sube, la del coseno mide la pendiente, y viceversa.
Esto se puede ver así: el seno parte en 0, sube hasta 1, baja hasta −1 y vuelve a 0 — como una ola. La pendiente de esa ola al principio (cuando sube más rápido) es máxima = 1. Y esa pendiente máxima es exactamente cos(0) = 1. Cuando la ola llega al pico (donde la pendiente es 0), cos también vale 0.
Sin y cos se derivan entre sí. El signo negativo en la derivada del coseno indica que cuando el coseno baja, su pendiente es negativa.
La tangente es sin(x)/cos(x). Su derivada es 1/cos²(x). A veces verás sec²(x) — es solo otro nombre para 1/cos²(x). No necesitas memorizar este nombre.
fuera: sin( · ), dentro: 3x
Recuerda: derivar la de fuera = aplicar la regla de la tabla a la función exterior,
manteniendo el argumento igual. La derivada de sin(·) es cos(·).
derivada de fuera (sin tocar dentro): cos(3x)
derivada de dentro: 3 (la derivada de 3x es 3, por la regla de la potencia)
f'(x) = cos(3x) · 3 = 3·cos(3x)
El número e es un número especial, aproximadamente igual a 2.718. Aparece en la naturaleza cuando algo crece (o decrece) a una tasa proporcional a su tamaño actual — como interés compuesto, crecimiento bacteriano, o la carga de un condensador. La función ex se llama "la exponencial natural" y su característica más sorprendente es que su derivada es ella misma:
La pendiente de ex en cada punto es igual al valor de la función en ese punto. Imagina una montaña donde la inclinación en cada punto mide exactamente la altura que tienes: eso hace ex.
fuera: e^( · ), dentro: 2x²
derivada de fuera: e^(2x²) ← e^(·) se mantiene (su derivada es ella misma)
derivada de dentro: 4x ← 2x²: baja el 2, multiplica por 2: 2·2·x^(2-1) = 4x
(regla de la potencia de la lección 9)
f'(x) = e^(2x²) · 4x = 4x · e^(2x²)
Para bases distintas a e: derivada de aˣ = aˣ · ln(a). Pero e es la más cómoda — por eso se prefiere.
El logaritmo natural (ln(x)) es la operación inversa de la exponencial. Si e² ≈ 7.389, entonces ln(7.389) ≈ 2. Responde a la pregunta: "¿a qué potencia hay que elevar e para obtener x?". En la práctica, aparece cuando quieres convertir productos en sumas (logaritmo de un producto = suma de logaritmos) o cuando mides distancias entre probabilidades en inteligencia artificial.
La derivada del logaritmo natural es la función "1 sobre x". Aparece constantemente porque ln y su derivada 1/x están muy relacionadas.
fuera: ln( · ), dentro: x² + 1
derivada de fuera: 1/(x² + 1)
derivada de dentro: 2x
f'(x) = 1/(x² + 1) · 2x = 2x / (x² + 1)
Para logaritmos en otra base: derivada de loga(x) = 1/(x·ln(a)). Otra razón por la que la base e es la "natural".
| Función | Derivada |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) |
| ex | ex (¡igual!) |
| ln(x) | 1/x |
| ax | ax · ln(a) |
| loga(x) | 1 / (x · ln(a)) |
La sigmoid (usamos la letra griega σ — sigma — como nombre corto) es una función muy usada en redes neuronales. Se define así: σ(x) = 1/(1 + e-x), donde e-x = 1/ex (exponente negativo = dividir). Su derivada tiene una forma preciosa, derivable con cadena y cociente:
Es decir: la derivada de la sigmoid se calcula a partir del propio valor de la sigmoid. Por eso es barata en redes — ya tienes σ(x) calculada, multiplicas por (1 − σ(x)) y listo. Esto encaja perfecto con backpropagation.
La próxima lección: aplicaciones — usar derivadas para encontrar máximos, mínimos y resolver problemas de optimización del mundo real.