Las derivadas de las funciones "no-polinómicas" más usadas. No vamos a demostrarlas (eso es trabajo de un curso clásico de cálculo) pero sí a entenderlas, memorizarlas y usarlas con la cadena.
Lo bonito: sin y cos se derivan entre sí. Y mira el menos delante de sin — eso engancha mucha gente.
fuera: sin( · ), dentro: 3x
derivada de fuera (sin tocar dentro): cos(3x)
derivada de dentro: 3
f'(x) = cos(3x) · 3 = 3·cos(3x)
La función exponencial natural es su propia derivada. Es la única función (salvo múltiplos) con esta propiedad. Razón por la que aparece en todas partes.
fuera: e^( · ), dentro: 2x²
derivada de fuera: e^(2x²) ← se mantiene
derivada de dentro: 4x
f'(x) = e^(2x²) · 4x = 4x · e^(2x²)
Para bases distintas a e: derivada de aˣ = aˣ · ln(a). Pero e es la más cómoda — por eso se prefiere.
Sí, tan simple. La derivada del logaritmo natural es la función "1 sobre x". Por eso ln y 1/x aparecen siempre juntos.
fuera: ln( · ), dentro: x² + 1
derivada de fuera: 1/(x² + 1)
derivada de dentro: 2x
f'(x) = 1/(x² + 1) · 2x = 2x / (x² + 1)
Para logaritmos en otra base: derivada de loga(x) = 1/(x·ln(a)). Otra razón por la que la base e es la "natural".
| Función | Derivada |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) |
| ex | ex (¡igual!) |
| ln(x) | 1/x |
| ax | ax · ln(a) |
| loga(x) | 1 / (x · ln(a)) |
Si hiciste los cursos de redes/PyTorch, recordarás la sigmoid: σ(x) = 1/(1 + e-x). Su derivada tiene una forma preciosa, derivable con cadena y cociente:
Es decir: la derivada de la sigmoid se calcula a partir del propio valor de la sigmoid. Por eso es barata en redes — ya tienes σ(x) calculada, multiplicas por (1 − σ(x)) y listo. Esto encaja perfecto con backpropagation.