LECCIÓN 12 · DERIVADAS

Aplicaciones — encontrar máximos y mínimos

Para qué sirven las derivadas en la práctica. La estrella: encontrar máximos y mínimos de funciones — el problema de "optimización". Lo mismo que hace una red neuronal al entrenar, pero a mano.

1La idea clave: máximos y mínimos tienen derivada 0

Imagina la gráfica de una función. En la cima de una colina (máximo) o en el fondo de un valle (mínimo), la tangente es horizontal. ¿Y qué es una tangente horizontal? Una recta con pendiente cero. Y la pendiente en un punto = la derivada.

🎯 Estrategia de oro: los máximos y mínimos de una función ocurren donde la derivada vale 0. Resolviendo f'(x) = 0 encuentras los candidatos.

Hay una sutileza: f'(x) = 0 también puede ocurrir en "puntos de inflexión" que no son ni máximos ni mínimos (lección 13 lo aclara). Pero los máximos/mínimos cumplen siempre esa condición.

2Ejemplo: ¿dónde tiene su mínimo f(x) = x² − 4x + 7?

✍️ Paso a paso

1) calcular f'(x):
   f'(x) = 2x − 4

2) igualar a cero:
   2x − 4 = 0
   2x = 4
   x = 2

3) calcular f en ese x (el valor del mínimo):
   f(2) = 2² − 4·2 + 7 = 4 − 8 + 7 = 3

→ Mínimo en (2, 3).

Comprobación visual: x² − 4x + 7 es una parábola hacia arriba, con su punto más bajo en x = 2.

3Cómo saber si es máximo o mínimo (sin ver la gráfica)

Si f'(a) = 0, hay 3 posibilidades. Para distinguirlas hay un truco — mirar cómo cambia el signo de la derivada alrededor del punto:

Antes de a (f'(x))	Después de a (f'(x))	El punto es…
positiva	negativa	máximo (subía, baja)
negativa	positiva	mínimo (bajaba, sube)
mismo signo	mismo signo	punto de inflexión (no es ni máx ni mín)

Hay otro método más rápido cuando funciona — la segunda derivada — que verás en la lección 13.

4Un problema real de optimización

Quieres construir una caja sin tapa, con un trozo cuadrado de cartón de 12 cm × 12 cm. Cortas cuadrados iguales en las 4 esquinas (de lado x) y doblas las solapas hacia arriba. ¿Qué tamaño x hace que la caja tenga el volumen máximo?

✍️ Planteamiento y resolución

Después de cortar y doblar:
   base de la caja = (12 − 2x) × (12 − 2x)
   altura          = x

Volumen V(x) = x · (12 − 2x)²

Queremos maximizar V respecto a x. Derivamos:

V(x) = x · (12 − 2x)²
     = x · (144 − 48x + 4x²)
     = 144x − 48x² + 4x³

V'(x) = 144 − 96x + 12x²

Igualamos a 0:
   12x² − 96x + 144 = 0
   x² − 8x + 12 = 0
   (x − 2)(x − 6) = 0
   →  x = 2  o  x = 6

x = 6 no tiene sentido (la caja no quedaría con base, sería 12 − 12 = 0).
→ x = 2 cm es el corte óptimo.

Volumen máximo: V(2) = 2 · (12 − 4)² = 2 · 64 = 128 cm³.

Ese es el poder de las derivadas: convertir un problema verbal ("¿cuál es el mejor tamaño?") en una ecuación que resuelves directamente.

5Conexión con el descenso de gradiente

🧠 Esto es EXACTAMENTE lo que hace una red neuronal al entrenar. El "error" de la red es una función de los pesos. Para minimizarlo, busca puntos donde la derivada (respecto a cada peso) sea cero. Como hay millones de pesos, no se puede resolver con álgebra — se hace iterativamente con descenso de gradiente. Pero el principio es idéntico: derivada cero = mínimo.

6Resumen

Máximos y mínimos viven donde f'(x) = 0. Resuelves esa ecuación y obtienes los candidatos; luego usas el signo de f' (o la segunda derivada) para clasificar. Es el método con el que se resuelve cualquier problema de optimización — desde diseñar una caja hasta entrenar GPT. Falta una última pieza: ¿qué son las derivadas de orden superior (segunda, tercera…) y qué significan? Lección final.