Para qué sirven las derivadas en la práctica. La estrella: encontrar máximos y mínimos de funciones — el problema de "optimización". Lo mismo que hace una red neuronal al entrenar, pero a mano.
Imagina la gráfica de una función. En la cima de una colina (máximo) o en el fondo de un valle (mínimo), la tangente es horizontal. ¿Y qué es una tangente horizontal? Una recta con pendiente cero. Y la pendiente en un punto = la derivada.
f'(x) = 0 encuentras los candidatos.
Hay una sutileza: f'(x) = 0 también puede ocurrir en "puntos de inflexión" — zonas donde la curva cambia de forma pero no llega a tener cima ni valle (la lección 13 lo aclara). Pero los máximos/mínimos cumplen siempre esa condición.
1) calcular f'(x): f'(x) = 2x − 4 2) igualar a cero: 2x − 4 = 0 2x = 4 x = 2 3) calcular f en ese x (el valor del mínimo): f(2) = 2² − 4·2 + 7 = 4 − 8 + 7 = 3 → Mínimo en (2, 3). Comprobación visual: x² − 4x + 7 es una parábola hacia arriba, con su punto más bajo en x = 2.
Si f'(a) = 0, hay 3 posibilidades. Para distinguirlas hay un truco — mirar cómo cambia el signo de la derivada alrededor del punto:
| Antes de a (f'(x)) | Después de a (f'(x)) | El punto es… |
|---|---|---|
| positiva | negativa | máximo (subía, baja) |
| negativa | positiva | mínimo (bajaba, sube) |
| mismo signo | mismo signo | punto de inflexión (no es ni máx ni mín) |
Hay otro método más rápido cuando funciona — la segunda derivada — que verás en la lección 13.
Quieres construir una caja sin tapa, con un trozo cuadrado de cartón de 12 cm × 12 cm. Cortas
cuadrados iguales en las 4 esquinas (de lado x) y doblas las solapas hacia arriba.
¿Qué tamaño x hace que la caja tenga el volumen máximo?
Después de cortar y doblar:
base de la caja = (12 − 2x) × (12 − 2x)
altura = x
Volumen V(x) = x · (12 − 2x)²
Queremos maximizar V respecto a x. Primero expandimos (12 − 2x)²:
Usamos (a − b)² = a² − 2ab + b² con a = 12 y b = 2x:
(12 − 2x)² = 12² − 2·12·2x + (2x)²
= 144 − 48x + 4x²
Entonces:
V(x) = x · (144 − 48x + 4x²)
= 144x − 48x² + 4x³ (multiplicamos x por cada término)
V'(x) = 144 − 96x + 12x² (regla de la potencia en cada término)
Igualamos a 0:
12x² − 96x + 144 = 0
x² − 8x + 12 = 0 (dividimos todo entre 12 para simplificar)
Factorizamos: buscamos dos números que multiplicados den 12 y sumados den −8.
Esos son −2 y −6 (porque −2×−6 = 12 y −2 + (−6) = −8)
x² − 8x + 12 = (x − 2)(x − 6) = 0
→ x = 2 o x = 6
x = 6 no tiene sentido (la caja no quedaría con base, sería 12 − 12 = 0).
→ x = 2 cm es el corte óptimo.
Volumen máximo: V(2) = 2 · (12 − 4)² = 2 · 64 = 128 cm³.
Ese es el poder de las derivadas: convertir un problema verbal ("¿cuál es el mejor tamaño?") en una ecuación que resuelves directamente.
La última lección del curso: las derivadas de orden superior — segunda, tercera… — y qué nos dicen sobre la forma de una función.