Si la derivada de f es f', ¿qué pasa si volvemos a derivar? Sale la "segunda derivada", f''. Y la tercera, y la cuarta... Cada una mide algo concreto. La segunda derivada en particular es famosa: te dice si una curva se "abre hacia arriba" o "hacia abajo".
Una función f tiene una derivada f' (lección 8). Pero f' también es una función — tiene su propia gráfica, su propia pendiente, su propia derivada. A esa "derivada de la derivada" se le llama segunda derivada y se escribe f''(x).
Y se puede seguir: f''' (tercera), f'''' (cuarta), y así. Suele bastar con la primera y la segunda — son las dos que tienen interpretación clarísima.
f(x) = x⁴ f'(x) = 4x³ (regla de la potencia) f''(x) = 12x² (derivamos 4x³) f'''(x) = 24x (derivamos 12x²) f''''(x) = 24 (constante) f'''''(x) = 0 (derivada de constante) A partir de aquí, todas las derivadas son 0.
En general: cuanto más derivas, "más simple" se va volviendo el resultado (para polinomios). Para funciones como sin/cos o ex, las derivadas se ciclan o se mantienen.
| f''(x) en a | Significado geométrico | Si f'(a) = 0 |
|---|---|---|
| > 0 (positiva) | la curva se abre hacia arriba (cóncava ∪) | mínimo |
| < 0 (negativa) | la curva se abre hacia abajo (cóncava ∩) | máximo |
| = 0 | no decide — mira el signo a los lados (punto de inflexión) | incierto |
Por eso al final de la lección 12 mencionamos un "método más rápido": para saber si un punto crítico (donde f' = 0) es máximo o mínimo, basta evaluar f'' ahí. Si sale negativa, máximo; positiva, mínimo.
f'(x) = 2x − 4 → f'(x) = 0 en x = 2
f''(x) = 2 → positiva siempre, en cualquier x
f''(2) = 2 > 0 → el punto crítico es un mínimo ✓
(coincide con lo que vimos: parábola hacia arriba, mínimo en x = 2)
Si s(t) es la posición de un objeto en el tiempo, entonces:
| Derivada | Qué mide físicamente |
|---|---|
| s(t) | posición |
| s'(t) | velocidad (cómo cambia la posición) |
| s''(t) | aceleración (cómo cambia la velocidad) |
| s'''(t) | "jerk" (cómo cambia la aceleración — sí, tiene nombre) |
Este es el ejemplo que usábamos en el curso del gradiente: posición = t², velocidad = 2t, aceleración = 2 (constante). Encaja todo.
| Concepto | Lección |
|---|---|
| Límites: acercarse sin llegar | 1 |
| Límites laterales | 2 |
| Límites infinitos / al infinito | 3 |
| Cómo se calcula un límite | 4 |
| Indeterminaciones | 5 |
| Continuidad: sin levantar el lápiz | 6 |
| Tipos de discontinuidad | 7 |
| La derivada como límite | 8 |
| Reglas de derivar (potencia, suma, producto, cociente) | 9 |
| Regla de la cadena | 10 |
| Derivadas de trig, exp y log | 11 |
| Aplicaciones: máximos, mínimos, optimización | 12 |
| Derivadas de orden superior | 13 |