Buenas noticias: no necesitas memorizar fórmulas de derivación para calcular una derivada. Basta con la idea de la lección 4 — un paso diminuto — convertida en una cuenta. Así lo hace un computador.
La derivada es la pendiente con un paso h muy pequeño. Pues
esa es, literalmente, la receta. Eliges un h chiquito y calculas:
No hace falta saber ninguna regla: solo evaluar la función en dos puntos cercanos y dividir. A esto se le llama diferencias finitas — "diferencias" porque mides la diferencia entre dos valores, "finitas" porque el paso h, aunque pequeño, sigue siendo un número real (no cero exacto). Es cómo los computadores calculan derivadas cuando no hay fórmula disponible.
h = 0.1 : (3.1² − 3²) ÷ 0.1 = (9.61 − 9) ÷ 0.1 = 6.1000 h = 0.01 : (3.01²− 3²) ÷ 0.01 = (9.0601 − 9) ÷ 0.01 = 6.0100 h = 0.001: (3.001²−3²) ÷ 0.001 = 6.0010 se acerca a → 6
Coincide con lo que ya sabíamos: la derivada en t=3 es 6. ¡Sin reglas, solo aritmética!
En vez de mirar solo hacia adelante, miramos un pasito a cada lado de t. Es más preciso porque los errores de un lado y del otro se cancelan entre sí — como calcular la velocidad media de un coche entre el segundo 2 y el segundo 4 (con t=3 al centro) en lugar de entre t=3 y t=4; tomas información de ambos lados y los errores se compensan:
( 3.1² − 2.9² ) ÷ (2·0.1)
= ( 9.61 − 8.41 ) ÷ 0.2
= 1.20 ÷ 0.2
= 6.0000 ¡exacto con h=0.1! (la "hacia adelante" daba 6.1)
Elige el instante t. Calculamos su derivada numérica (central, h=0.001) y la comparamos con el patrón que iremos descubriendo.
Si calculamos la derivada numérica de t² en varios puntos, salta algo a la vista:
| punto t | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| derivada numérica | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 10.0 |
| ¿será… 2·t? | 2·1=2 | 2·2=4 | 2·3=6 | 2·5=10 |
En la próxima lección: los atajos (reglas de derivación) que son justamente estos patrones, para no tener que calcular con h cada vez.