Buenas noticias: no necesitas memorizar fórmulas de derivación para calcular una derivada. Basta con la idea de la lección 4 — un paso diminuto — convertida en una cuenta. Así lo hace un computador.
Recordemos la lección 4: la derivada es la pendiente con un paso h muy pequeño. Pues
esa es, literalmente, la receta. Eliges un h chiquito y calculas:
No hace falta saber ninguna regla: solo evaluar la función en dos puntos cercanos y dividir. A esto se le llama diferencias finitas, y es como las máquinas calculan derivadas cuando no hay fórmula.
h = 0.1 : (3.1² − 3²) ÷ 0.1 = (9.61 − 9) ÷ 0.1 = 6.1000 h = 0.01 : (3.01²− 3²) ÷ 0.01 = (9.0601 − 9) ÷ 0.01 = 6.0100 h = 0.001: (3.001²−3²) ÷ 0.001 = 6.0010 se acerca a → 6
Coincide con lo que ya sabíamos: la derivada en t=3 es 6. ¡Sin reglas, solo aritmética!
En vez de mirar solo hacia adelante, miramos un pasito a cada lado de t. Es más
preciso (acierta mejor con h no tan pequeño):
( 3.1² − 2.9² ) ÷ (2·0.1)
= ( 9.61 − 8.41 ) ÷ 0.2
= 1.20 ÷ 0.2
= 6.0000 ¡exacto con h=0.1! (la "hacia adelante" daba 6.1)
Elige el instante t. Calculamos su derivada numérica (central, h=0.001) y la comparamos con el patrón que iremos descubriendo.
Si calculamos la derivada numérica de t² en varios puntos, salta algo a la vista:
| punto t | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| derivada numérica | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 10.0 |
| ¿será… 2·t? | 2·1=2 | 2·2=4 | 2·3=6 | 2·5=10 |
t² siempre da 2·t! No lo impusimos: emergió
de calcular numéricamente en varios puntos. En la próxima lección veremos que existen
atajos (las "reglas de derivación") que son justamente estos patrones, para no
tener que calcular con h cada vez.