LECCIÓN 4

La derivada

Ya casi está. La derivada no es nada misterioso: es la pendiente exacta en un punto, el valor al que se acerca la secante cuando el segundo punto se pega al primero. La velocidad en un instante.

Recuerda de la lección anterior: para medir la velocidad exacta en t=3, dejamos un punto fijo en t=3 y acercamos el segundo punto cada vez más. La pendiente media entre ambos (subida ÷ avance) se iba acercando a 6 sin llegar nunca a cero el avance. Hoy le ponemos nombre a ese proceso: la derivada.

1. La idea: un paso diminuto

Llamemos h al "tamaño del paso" desde t=3 — es simplemente un número que iremos haciendo cada vez más pequeño. La velocidad media en ese pasito es: La velocidad media en ese pasito es:

pendiente = ( posición(3+h) − posición(3) ) ÷ h

Y la pregunta clave: ¿qué pasa cuando h se hace diminuto (casi cero)?

2. Lo calculamos a mano, encogiendo h

✍️ posición = tiempo², punto fijo t=3 (posición 9). Encogemos h:

h = 2  :  (5²  − 9) ÷ 2   = (25 − 9) ÷ 2   = 16 ÷ 2   = 8.000
h = 1  :  (4²  − 9) ÷ 1   = (16 − 9) ÷ 1   = 7  ÷ 1   = 7.000
h = 0.5:  (3.5²− 9) ÷ 0.5 = (12.25−9)÷0.5  = 3.25÷0.5 = 6.500
h = 0.1:  (3.1²− 9) ÷ 0.1 = (9.61 −9)÷0.1  = 0.61÷0.1 = 6.100
h = 0.01: (3.01²−9)÷0.01  = (9.0601−9)÷.01 = .0601÷.01= 6.010
h = 0.001:                                            = 6.001
                                                         ↓
                          cuanto más diminuto el paso → 6.000

Cuando h tiende a 0, la pendiente tiende a 6. Ese número, 6, es la derivada de la posición en t=3: la velocidad exacta en ese instante (no un promedio). En lenguaje cotidiano: lo que marcaría el velocímetro justo en t=3.

3. La derivada = la pendiente de la recta tangente

Al encoger h, la secante (que cortaba la curva en dos puntos) se convierte en una recta que solo roza la curva en t=3: la recta tangente. La pendiente de esa tangente es la derivada.

paso h 2.000

Desliza hacia la derecha para encoger h: verás la secante naranja convertirse en la tangente, y la pendiente acercarse a 6.

4. Lo que aprendiste

La derivada de una función en un punto es la pendiente exacta ahí: el ritmo de cambio instantáneo. Los matemáticos inventaron dos formas equivalentes de escribirla — ambas significan exactamente lo mismo:

f'(3) — se lee "efe prima de tres". El apóstrofe ' es la notación para "derivada". Aquí f es el nombre corto de "la función posición", y (3) es el punto donde calculamos.
df/dt en t=3 — se lee "de-efe sobre de-te en t=3". La d es una abreviatura de "diferencia infinitamente pequeña" — es la misma idea de h→0 escrita de otra manera.

f'(3) = df/dt en t=3 = 6

Lo que aprendiste hoy: la derivada es la pendiente exacta en un punto — el límite al que se acerca la pendiente media cuando el paso h se hace diminuto. Para posición = tiempo², la derivada en t=3 es exactamente 6: la velocidad del coche en ese instante.

En la próxima lección: cómo calcular derivadas sin saber ninguna regla, tal como lo hace un computador.