LECCIÓN 4

La derivada

Ya casi está. La derivada no es nada misterioso: es la pendiente exacta en un punto, el valor al que se acerca la secante cuando el segundo punto se pega al primero. La velocidad en un instante.

1. La idea: un paso diminuto

En la lección 3 acercábamos el segundo punto a t=3 y la pendiente se aproximaba a 6. Hagamos eso con un número: llamemos h al "tamaño del paso" desde t=3. La velocidad media en ese pasito es:

pendiente = ( posición(3+h) − posición(3) ) ÷ h

Y la pregunta clave: ¿qué pasa cuando h se hace diminuto (casi cero)?

2. Lo calculamos a mano, encogiendo h

✍️ posición = tiempo², punto fijo t=3 (posición 9). Encogemos h:

h = 2  :  (5²  − 9) ÷ 2   = (25 − 9) ÷ 2   = 16 ÷ 2   = 8.000
h = 1  :  (4²  − 9) ÷ 1   = (16 − 9) ÷ 1   = 7  ÷ 1   = 7.000
h = 0.5:  (3.5²− 9) ÷ 0.5 = (12.25−9)÷0.5  = 3.25÷0.5 = 6.500
h = 0.1:  (3.1²− 9) ÷ 0.1 = (9.61 −9)÷0.1  = 0.61÷0.1 = 6.100
h = 0.01: (3.01²−9)÷0.01  = (9.0601−9)÷.01 = .0601÷.01= 6.010
h = 0.001:                                            = 6.001
                                                         ↓
                          cuanto más diminuto el paso → 6.000

Cuando h tiende a 0, la pendiente tiende a 6. Ese número, 6, es la derivada de la posición en t=3: la velocidad exacta en ese instante (no un promedio). En lenguaje cotidiano: lo que marcaría el velocímetro justo en t=3.

3. La derivada = la pendiente de la recta tangente

Al encoger h, la secante (que cortaba la curva en dos puntos) se convierte en una recta que solo roza la curva en t=3: la recta tangente. La pendiente de esa tangente es la derivada.

paso h 2.000

Desliza hacia la derecha para encoger h: verás la secante naranja convertirse en la tangente, y la pendiente acercarse a 6.

4. Qué es y cómo se escribe

La derivada de una función en un punto es la pendiente exacta ahí: el ritmo de cambio instantáneo. Se escribe de varias formas equivalentes (no te asustes, todas dicen lo mismo):

f '(3) = df/dt en t=3 = 6

Resumen — lo más importante del curso hasta aquí: la derivada es solo la pendiente en un punto exacto, obtenida acercando dos puntos hasta que se tocan. Para nuestra posición = tiempo², la derivada en t=3 es 6 (y en general resulta ser 2·t, lo veremos como un "atajo" más adelante). En la próxima lección: cómo calcular derivadas sin saber ninguna regla, tal como lo hace un computador.