LECCIÓN 3

La pendiente de una curva

Cuando el coche acelera, su gráfica deja de ser recta y se vuelve una curva. Su pendiente cambia en cada punto. ¿Cómo medimos la pendiente ahí? Con un truco precioso: dos puntos que se van acercando.

1. El coche ahora acelera

Nuevo escenario: un coche que arranca parado y acelera. Su posición ya no crece de forma constante. Usaremos una posición que sigue el tiempo al cuadrado:

posición = tiempo²

Tiempo (s)	0	1	2	3	4	5
Posición (m)	0	1	4	9	16	25

Fíjate: entre t=1 y t=2 avanza 3 m; entre t=4 y t=5 avanza 9 m. Cada vez recorre más en el mismo segundo → está acelerando. La gráfica es una curva que se empina cada vez más.

2. El problema: una curva no tiene UNA pendiente

Una recta tiene la misma pendiente en todos lados. Una curva no: al principio es casi plana (lento) y luego muy empinada (rápido). Entonces, ¿qué significa "la pendiente en t=3"?

Primera idea — la velocidad media. Tomamos dos instantes y calculamos, igual que antes, subida ÷ avance. Eso nos da la velocidad promedio entre esos dos momentos. La recta que une los dos puntos se llama secante, y su pendiente es esa velocidad media.

✍️ Velocidad media entre t=2 y t=4

posición en t=2:  2² = 4 m
posición en t=4:  4² = 16 m

avance (tiempo)   = 4 − 2 = 2 s
subida (posición) = 16 − 4 = 12 m
pendiente media = 12 ÷ 2 = 6 m/s

Pero ojo: esto es el PROMEDIO en esos 2 segundos, no la velocidad
exacta en un instante concreto.

3. El truco: acercar el segundo punto

Para saber la velocidad exactamente en t=3, hacemos algo astuto: dejamos un punto fijo en t=3 y acercamos el otro punto cada vez más. Cuanto más cerca, la velocidad media se parece más a la velocidad real en ese instante.

🎮 Acerca el segundo punto a t=3

El punto azul está fijo en t=3. Mueve el segundo punto con el deslizador y mira cómo cambia la pendiente de la secante (la recta que los une).

2º punto en t = 5.0

4. ¿Qué observas?

Cuanto más acercas el segundo punto a t=3, la pendiente de la secante se acerca a 6. No importa si vienes desde t=5 (pendiente 8) o desde t=4 (pendiente 7): al aproximarte a t=3, el número tiende a 6. Ese "valor al que se acerca" es la velocidad exacta en t=3 — y es lo que en la próxima lección llamaremos la derivada.