LECCIÓN 3

La pendiente de una curva

Cuando el coche acelera, su gráfica deja de ser recta y se vuelve una curva. Su pendiente cambia en cada punto. ¿Cómo medimos la pendiente ahí? Con un truco precioso: dos puntos que se van acercando.

Recuerda de las lecciones anteriores: la pendiente mide el ritmo de cambio — subida ÷ avance. Para una recta (coche a velocidad constante) la pendiente es siempre la misma. Hoy el reto: el coche acelera, su gráfica se curva, y ya no hay una sola pendiente para toda la curva.

1. El coche ahora acelera

Nuevo escenario: un coche que arranca parado y acelera. Su posición ya no crece de forma constante. Primero mira la tabla de valores y observa el patrón:

Tiempo (s)	0	1	2	3	4	5
Posición (m)	0	1	4	9	16	25

Fíjate: entre t=1 y t=2 avanza 3 m; entre t=4 y t=5 avanza 9 m. Cada vez recorre más en el mismo segundo → está acelerando. La gráfica es una curva que se empina cada vez más.

Esos valores de posición siguen la regla "tiempo multiplicado por sí mismo" — el tiempo al cuadrado. Elevar al cuadrado significa multiplicar el número por sí mismo: 3² = 3 × 3 = 9. Por eso escribimos:

posición = tiempo²

Comprobación: en t=3, posición = 3² = 3×3 = 9 ✓. En t=4, posición = 4² = 4×4 = 16 ✓.

2. El problema: una curva no tiene UNA pendiente

Una recta tiene la misma pendiente en todos lados. Una curva no: al principio es casi plana (lento) y luego muy empinada (rápido). Entonces, ¿qué significa "la pendiente en t=3"?

Primera idea — la velocidad media. Tomamos dos instantes y calculamos, igual que antes, subida ÷ avance. Eso nos da la velocidad promedio entre esos dos momentos. La recta que une los dos puntos se llama secante — como cuando mides el precio medio del billete entre dos ciudades sin importar el camino exacto: tienes un promedio entre esos dos puntos. Su pendiente es la velocidad media.

✍️ Velocidad media entre t=2 y t=4

posición en t=2:  2² = 4 m
posición en t=4:  4² = 16 m

avance (tiempo)   = 4 − 2 = 2 s
subida (posición) = 16 − 4 = 12 m
pendiente media = 12 ÷ 2 = 6 m/s

Pero ojo: esto es el PROMEDIO en esos 2 segundos, no la velocidad
exacta en un instante concreto.

3. El truco: acercar el segundo punto

Para saber la velocidad exactamente en t=3, hacemos algo astuto: dejamos un punto fijo en t=3 y acercamos el otro punto cada vez más. Cuanto más cerca, la velocidad media se parece más a la velocidad real en ese instante.

🎮 Acerca el segundo punto a t=3

El punto azul está fijo en t=3. Mueve el segundo punto con el deslizador y mira cómo cambia la pendiente de la secante (la recta que los une).

2º punto en t = 5.0

4. Lo que aprendiste

🤔 Este paso — obtener la velocidad exacta como límite de velocidades medias — es el más importante del curso. Históricamente costó siglos de debate. No te preocupes si necesitas releer la demo dos veces; es normal.

Lo que aprendiste hoy: cuando el coche acelera, su posición sigue la curva posición = tiempo². Una curva no tiene una sola pendiente — cambia en cada punto. Para medir la pendiente exacta en t=3, acercamos dos puntos cada vez más: la pendiente media entre ellos se acerca a 6. Ese valor límite es la velocidad exacta en t=3 — y en la próxima lección lo llamaremos la derivada.