LECCIÓN 6

Los atajos (las "reglas")

Las reglas de derivación asustan en clase. Pero no son más que atajos: patrones que alguien ya calculó numéricamente por nosotros, para no tener que usar el "paso diminuto" cada vez.

Recuerda de la lección anterior: calculaste derivadas usando solo aritmética — dos puntos cercanos y una división. Para t², calculando en varios puntos, emergió el patrón: la derivada siempre es 2·t. Hoy le damos nombre a ese patrón y aprendemos los atajos para no calcular con h cada vez.

1. Por qué existen los atajos

En la lección 5 descubrimos, calculando con h, que la derivada de t² es 2t. Imagina hacer eso para cada función… sería pesadísimo. Por suerte, las funciones comunes tienen patrones fijos. Tener estos patrones a mano — con la práctica los reconocerás de inmediato — te ahorra todo el trabajo.

Una "regla de derivación" = un patrón que dice "la derivada de esta forma es siempre esta otra". No hay magia: cada regla se puede comprobar con el método numérico de la lección anterior.

2. La regla de la potencia (la más útil)

Para t elevado a un número — se lee "t elevado a la ene" — la derivada baja el exponente al frente y le resta 1 — quedando "t elevado a la ene menos uno":

derivada de tⁿ = n · tⁿ⁻¹

función	aplicando la regla	derivada
t²	2 · t²⁻¹	2t ✓ (lo confirmamos a mano)
t³	3 · t³⁻¹	3t²
t⁵	5 · t⁵⁻¹	5t⁴
t (= t¹)	1 · t⁰	1 (porque t⁰ = 1; cualquier número elevado a 0 vale 1)

✍️ Comprobemos t³ numéricamente en t=2 (regla dice 3t²=3·4=12)

central, h=0.001:  (2.001³ − 1.999³) ÷ (2·0.001)
                 ≈ (8.012006 − 7.988006) ÷ 0.002
                 ≈ 0.024 ÷ 0.002 = 12.0     ✓ coincide con 3t²

3. Las otras dos que más usarás

Regla de la constante

La derivada de un número fijo (que no cambia) es 0. Tiene sentido: algo constante no cambia, su ritmo de cambio es cero (recta horizontal, pendiente 0).

derivada de 7 = 0

Regla de la suma (deriva por partes)

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Derivas cada trozo por separado y los sumas.

derivada de (t² + t³) = 2t + 3t²

✍️ Ejemplo combinando las tres reglas: f(t) = t² + 5t + 7

derivada de t²  → 2t        (regla de la potencia)
derivada de 5t  → 5         (5t = 5·t¹; regla de la potencia: 5·1·t⁰ = 5·1·1 = 5)
derivada de 7   → 0         (regla de la constante)
─────────────────────────
derivada total  → 2t + 5

🎮 Aplica la regla de la potencia

Elige el exponente n de tⁿ y mira su derivada según la regla.

exponente n 2

4. Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: las reglas de derivación son atajos que ya alguien verificó numéricamente. Las tres más importantes: potencia (tⁿ → n·tⁿ⁻¹ — baja el exponente al frente y resta 1), constante (cualquier número fijo → 0), y suma (deriva cada parte por separado y suma). Para t² + 5t + 7: la derivada es 2t + 5.

Hasta aquí derivadas de una sola variable. En el mundo real (y en las redes neuronales) las cosas dependen de muchas variables a la vez. Eso abre la puerta al gradiente, a partir de la próxima lección.