Hasta ahora vectores con 2 componentes — flechas en una hoja. Pero un vector puede tener 3, 100, o mil componentes. Y todo lo que aprendiste sigue funcionando exactamente igual. Esta es la lección que abre la puerta a la IA.
a·b = 5, |a| ≈ 3.16, |b| ≈ 2.24, ángulo = 45°. Hoy ampliamos la misma idea: ¿qué pasa si el vector tiene más de 2 componentes?
Usamos 2 componentes porque cabe en una hoja y se ve. Pero la definición real de vector es solo "una lista ordenada de números". Esa lista puede tener cualquier longitud:
Cada número de la lista es una "dimensión" o "componente". El número total de componentes se llama la dimensión del vector.
Muchísimas cosas de la vida real son, de hecho, vectores. Solo que con más o menos dimensiones:
(latitud, longitud) → 2 números. Vector de dimensión 2.
(rojo, verde, azul). Ejemplo: (236, 72, 153) = magenta. 3 componentes.
(temperatura, humedad, viento, presión) → 4 números. Vector de dimensión 4.
Imagen 28×28 en gris = 784 píxeles. Vector de dimensión 784.
En los sistemas de IA de lenguaje, cada palabra se convierte en un vector de cientos de números que captura su "significado numérico": palabras parecidas quedan en posiciones parecidas del espacio. A ese vector se le llama embedding (pronunciado "embéding") — piénsalo como el "carnet de identidad numérico" de una palabra. Dimensión 300–4096.
Un párrafo procesado por un Transformer es un vector de varios miles de dimensiones. Vector de dimensión 4096+.
3D todavía se puede visualizar: 3 ejes perpendiculares (x, y, z). Un vector en 3D tiene 3 componentes:
Tomemos dos vectores en 4 dimensiones (imagínalos como, por ejemplo, predicciones del tiempo: temperatura, humedad, viento, presión):
Suma — sumamos componente a componente, igual que antes: u + v = (1+5, 2+0, 3+(-1), 4+2) = (6, 2, 2, 6) Escalar — multiplicamos cada componente: 3·u = (3, 6, 9, 12) Producto punto — multiplicamos componentes y sumamos: u · v = 1·5 + 2·0 + 3·(-1) + 4·2 = 5 + 0 − 3 + 8 = 10 Longitud — Pitágoras generalizado: |u| = √(1² + 2² + 3² + 4²) = √(1+4+9+16) = √30 ≈ 5.48
En el curso de redes neuronales verás que cada neurona hace un producto punto entre el vector de pesos y el vector de entradas. Lo que antes era un producto punto entre vectores de 2 componentes ocurre con vectores de cientos de componentes. La fórmula es la misma; solo cambia cuántos números sumas:
La tabla de abajo muestra algunos modelos de IA conocidos (no te preocupes si los nombres no te suenan — son solo programas de IA) y la dimensión de los vectores con los que trabajan internamente:
| Modelo | Qué es | Dimensión |
|---|---|---|
| Red XOR (ejemplo básico) | Red neuronal mínima — la que verás en el curso de redes | 4 |
| BERT pequeño | Modelo de comprensión de texto de Google (2018) | 768 |
| GPT-3 | Generador de texto de OpenAI (2020) | 12.288 |
| LLaMA 70B | Modelo de lenguaje de Meta (2023) | 8.192 |
En la próxima lección aparece la otra protagonista del álgebra lineal: la matriz, que es a la vez una tabla de números y una máquina de transformar vectores.