Toda la geometría del plano sale de UNA sola operación: el producto punto que aprendiste. Con él medimos cuánto mide una flecha y qué ángulo forman dos flechas. Sin reglas nuevas.
La longitud de un vector es cuánto mide su flecha. Y se calcula como en el teorema de Pitágoras: la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las componentes.
|a| = √(a₁² + a₂²)
= √(3² + 1²)
= √(9 + 1)
= √10
≈ 3.16 "tres con dieciséis"
Las dos barras |·| alrededor del vector significan "su longitud" (a veces verás ||a|| con dos barras, es lo mismo).
Mira esto: si calculas el producto punto de un vector consigo mismo, obtienes la suma de los cuadrados:
a · a = a₁·a₁ + a₂·a₂
= a₁² + a₂²
= 3² + 1²
= 9 + 1
= 10
|a| = √(a · a) = √10 ≈ 3.16
|a| = √(a·a).
Por eso decimos que el producto punto "lo es todo en geometría": de él salen las longitudes (y, como
verás abajo, también los ángulos).
Calculemos también la longitud de nuestro b = (1, 2):
b · b = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
|b| = √5 ≈ 2.24
Resulta que el producto punto tiene una segunda fórmula, geométrica, que conecta con el ángulo entre los vectores:
Donde θ (theta) es el ángulo entre las dos flechas. Despejando cos(θ):
Y conociendo el coseno, sabes el ángulo. ¡Calculémoslo para nuestros vectores!
1) producto punto: a · b = 3·1 + 1·2 = 5 (de la lección 4) 2) longitudes: |a| = √10 ≈ 3.162 |b| = √5 ≈ 2.236 3) producto de longitudes: |a|·|b| = √10 · √5 = √50 ≈ 7.071 4) coseno del ángulo: cos(θ) = 5 ÷ 7.071 ≈ 0.7071 5) buscamos qué ángulo tiene coseno 0.7071… ¡resulta que es exactamente 45°! (cos 45° = 1/√2 = 0.7071) θ = 45° entre a y b
El "arco coseno" (arccos en una calculadora) es la función que, dado el coseno, te devuelve el ángulo. Casi nunca lo calcularás a mano — pero ahora entiendes qué hace.
| Ángulo θ | cos(θ) | a · b | Significado |
|---|---|---|---|
| 0° (misma dirección) | 1 | |a|·|b| (máximo) | flechas paralelas |
| 45° | ≈ 0.707 | positivo medio | nuestro a y b ✨ |
| 90° (perpendiculares) | 0 | 0 | "no se alinean" |
| 135° | ≈ -0.707 | negativo medio | más opuestas que paralelas |
| 180° (opuestas) | -1 | -|a|·|b| (mínimo) | flechas en contra |
a · b = 0 significa exactamente
perpendiculares (90°), porque cos(90°) = 0. Por eso es tan útil como test de
"perpendicularidad".
Arrastra los dos vectores y ve sus longitudes y el ángulo entre ellos en tiempo real. Intenta poner uno horizontal y el otro vertical (ángulo 90°, producto punto 0).
| Concepto | Fórmula | Con nuestros vectores |
|---|---|---|
| Longitud | |a| = √(a·a) | |a| = √10 ≈ 3.16 |
| Ángulo | cos θ = (a·b)/(|a|·|b|) | θ = 45° entre a y b |
| Perpendicular | a·b = 0 | (test instantáneo) |