Toda la geometría del plano sale de UNA sola operación: el producto punto que aprendiste. Con él medimos cuánto mide una flecha y qué ángulo forman dos flechas. Sin reglas nuevas.
a · b multiplica componentes y las suma: con nuestros vectores a = (3, 1) y b = (1, 2), el resultado fue a · b = 3·1 + 1·2 = 5. Hoy usamos ese mismo resultado para medir la longitud de las flechas y el ángulo que forman.
La longitud de un vector es cuánto mide su flecha. Y se calcula como en el teorema de Pitágoras: la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las componentes.
|a| = √(a₁² + a₂²)
= √(3² + 1²)
= √(9 + 1)
= √10
≈ 3.16 "tres con dieciséis"
Las dos barras |·| alrededor del vector significan "su longitud" (a veces verás ||a|| con dos barras, es lo mismo).
Mira esto: si calculas el producto punto de un vector consigo mismo, obtienes la suma de los cuadrados:
a · a = a₁·a₁ + a₂·a₂
= a₁² + a₂²
= 3² + 1²
= 9 + 1
= 10
|a| = √(a · a) = √10 ≈ 3.16
|a| = √(a·a).
Por eso decimos que el producto punto "lo es todo en geometría": de él salen las longitudes (y, como
verás abajo, también los ángulos).
Calculemos también la longitud de nuestro b = (1, 2):
b · b = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
|b| = √5 ≈ 2.24
Para entender cómo medir ángulos necesitamos una herramienta: el coseno. No te preocupes si no lo conoces — aquí solo necesitas saber una cosa de él:
cos(θ), donde θ es la letra griega theta (se pronuncia "téta") — simplemente el nombre del ángulo desconocido, como x en álgebra.
Imagina las dos flechas abiertas como un compás. Cuando apuntan en la misma dirección el coseno vale 1; cuando son perpendiculares vale 0; cuando van en contra vale -1. El producto punto captura exactamente esa relación:
Donde θ (theta) es el ángulo entre las dos flechas. Despejando cos(θ):
Y conociendo el coseno, sabes el ángulo. ¡Calculémoslo para nuestros vectores!
Una vez que tenemos el coseno del ángulo, ¿cómo encontramos el ángulo? Con la función arco coseno (arccos en cualquier calculadora): dado un número entre -1 y 1, te devuelve el ángulo correspondiente. Casi nunca la calcularás a mano — pero ahora entiendes qué hace.
1) producto punto: a · b = 3·1 + 1·2 = 5 (de la lección 4) 2) longitudes: |a| = √10 ≈ 3.162 |b| = √5 ≈ 2.236 3) producto de longitudes: |a|·|b| = √10 · √5 = √50 ≈ 7.071 4) coseno del ángulo: cos(θ) = 5 ÷ 7.071 ≈ 0.7071 5) aplicamos arccos para encontrar el ángulo: θ = arccos(0.7071) = 45° (el arccos de 0.7071 devuelve exactamente 45° porque cos 45° = 1/√2 = 0.7071) θ = 45° entre a y b
| Ángulo θ | cos(θ) | a · b | Significado |
|---|---|---|---|
| 0° (misma dirección) | 1 | |a|·|b| (máximo) | flechas paralelas |
| 45° | ≈ 0.707 | positivo medio | nuestro a y b ✨ |
| 90° (perpendiculares) | 0 | 0 | "no se alinean" |
| 135° | ≈ -0.707 | negativo medio | más opuestas que paralelas |
| 180° (opuestas) | -1 | -|a|·|b| (mínimo) | flechas en contra |
a · b = 0 significa exactamente
perpendiculares (90°), porque cos(90°) = 0. Por eso es tan útil como test de
"perpendicularidad".
Arrastra los dos vectores y ve sus longitudes y el ángulo entre ellos en tiempo real. Intenta poner uno horizontal y el otro vertical (ángulo 90°, producto punto 0).
| Concepto | Fórmula | Con nuestros vectores |
|---|---|---|
| Longitud | |a| = √(a·a) | |a| = √10 ≈ 3.16 |
| Ángulo | cos θ = (a·b)/(|a|·|b|) | θ = 45° entre a y b |
| Perpendicular | a·b = 0 | (test instantáneo) |
|a| = √(a·a) — raíz del producto punto consigo mismo. El ángulo entre dos vectores se obtiene del coseno: cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|), y el arco coseno devuelve el ángulo. Con nuestros vectores del curso: |a| ≈ 3.16, |b| ≈ 2.24, ángulo = 45°.
La próxima lección da un salto: ¿qué pasa si hay más de 2 dimensiones? Verás que todo lo aprendido sigue funcionando igual.