La operación más importante de todo el álgebra lineal — y la que más vas a ver en redes neuronales (las "neuronas" calculan productos punto). Toma dos vectores y devuelve un solo número, con un significado geométrico precioso.
El producto punto entre dos vectores se escribe con un punto: a · b. Y se calcula así:
En palabras: multiplica las primeras componentes, multiplica las segundas, y suma los dos resultados. El resultado es UN solo número (no un vector).
a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂
= 3·1 + 1·2
= 3 + 2
= 5
Eso es todo. a · b = 5. Ese número, 5, llevaremos a varios sitios en las próximas lecciones — es la "huella numérica" de la relación entre nuestros dos vectores.
El producto punto mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección:
Mueve las puntas de las dos flechas y observa cómo cambia a · b en vivo. Intenta ponerlas perpendiculares (¿qué te sale?) y opuestas.
El producto punto está en cada neurona de cada red neuronal del mundo. Recuerda cómo se calcula la "pre-activación" de una neurona (curso de redes, lección 1):
Eso, sin el bias, es el producto punto entre el vector de pesos w y el vector de entradas x:
w de millones de productos punto. Por eso el
producto punto es la operación: si lo entiendes, entiendes la mecánica básica de toda red
neuronal.
a · b = b · a
conmutativo
el orden no importa
(k·a) · b = k · (a · b)
escalar afuera
multiplicar por un número se saca
a · (b + c) = a·b + a·c
distributivo
reparte sobre la suma
a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂. Con nuestros canónicos: a · b = 5. Mide alineamiento:
grande positivo si miran lo mismo, cero si son perpendiculares, negativo si opuestos. Aparece en
CADA neurona de toda red neuronal. En la próxima lección lo usamos para medir longitudes
y ángulos — la pura geometría del plano.