LECCIÓN 3

Escalar y combinación lineal

Multiplicar un vector por un número simplemente lo estira o lo encoge. Combinar varios vectores con números te permite "llegar a cualquier sitio" en el plano. Estas dos operaciones — sumar y escalar — son TODO el álgebra lineal.

1Multiplicar un vector por un número

Si a = (3, 1) y tomas 2 · a, simplemente multiplicas cada componente por 2. Visualmente: la flecha mide el doble, en la misma dirección.

k · (a₁, a₂) = (k·a₁, k·a₂)

imagen 1 · escalando el vector a con distintos números

Multiplicar por un número solo cambia la longitud de la flecha. Si el número es negativo, también la "voltea" (sentido opuesto).

✍️ Tres ejemplos a mano, con a = (3, 1)

2 · a   = (2·3, 2·1)    = (6, 2)         doble de largo, misma dirección
½ · a   = (0.5·3, 0.5·1) = (1.5, 0.5)     la mitad de largo
-1 · a  = (-1·3, -1·1)  = (-3, -1)        misma longitud, sentido OPUESTO
0 · a   = (0·3, 0·1)    = (0, 0)         "colapsa" al origen, ya no es flecha

Al número por el que multiplicas (2, 0.5, -1…) se le llama escalar — porque escala el vector. De ahí el nombre "multiplicar por escalar".

2Pruébalo: estira y encoge el vector

Mueve el deslizador. La flecha rosa pálido es a original; la oscura es k·a.

escalar k = 2.00

3Combinación lineal — la idea estrella

Junta las dos operaciones: escala dos vectores y súmalos. Eso es una combinación lineal. Ejemplo concreto con nuestros canónicos:

2·a + 1·b

✍️ Combinación lineal 2·a + b, paso a paso

1) escalamos a:    2·a = 2·(3, 1) = (6, 2)
2) tomamos b tal cual:  b = (1, 2)
3) los sumamos:    (6, 2) + (1, 2) = (6+1, 2+2) = (7, 4)

Resultado:  2·a + b = (7, 4)

imagen 2 · cómo se construye 2·a + b paso a paso

Primero estiras a al doble, luego le añades b al final. Llegas a (7, 4).

La forma general:

k₁ · a + k₂ · b (elige los pesos que quieras)

4Pruébalo: dos perillas para "llegar a cualquier sitio"

Cambia los dos pesos k₁ y k₂ y mira cómo la punta del resultado verde se mueve por el plano. Casi cualquier punto puede alcanzarse combinando a y b.

k₁ (peso de a) 2.00

k₂ (peso de b) 1.00

5La idea que cambia todo

🌟 Con dos vectores que no apunten en la misma dirección, COMBINÁNDOLOS puedes llegar a cualquier punto del plano. Eligiendo bien k₁ y k₂, alcanzas cualquier coordenada (x, y) que se te ocurra. A esto se le llama generar el plano — una idea fundamental que reaparecerá en muchas formas (bases, dimensión, espacios vectoriales…).

Y la otra cara de la moneda: todo punto del plano es una combinación lineal de a y b. Esto suena abstracto pero es la base de muchísima maquinaria de ML, gráficos por computador, compresión de datos, etc.

6Lo que llevas hasta aquí

Operación	Qué hace	Ejemplo con a=(3,1)
k · a	Estira/encoge/voltea	2·a = (6, 2)
k₁·a + k₂·b	Combinación lineal	2·a + b = (7, 4)

Resumen: sumar + escalar = las dos operaciones que definen el álgebra lineal. Con ellas haces combinaciones lineales, que generan todo el plano. En la próxima lección llega LA operación más importante (de verdad): el producto punto, que combina dos vectores en un solo número con una interpretación geométrica preciosa.