Multiplicar un vector por un número simplemente lo estira o lo encoge. Combinar varios vectores con números te permite "llegar a cualquier sitio" en el plano. Estas dos operaciones — sumar y escalar — son TODO el álgebra lineal.
Llamamos escalar a cualquier número ordinario (2, 0.5, −1, lo que sea) — no un vector, solo un número suelto. Usamos la letra k para representar "cualquier escalar". Si a = (3, 1) y tomas 2 · a, simplemente multiplicas cada componente por 2. Visualmente: la flecha mide el doble, en la misma dirección. Míralo primero en el dibujo, y luego en el cálculo:
2 · a = (2·3, 2·1) = (6, 2) doble de largo, misma dirección ½ · a = (0.5·3, 0.5·1) = (1.5, 0.5) la mitad de largo -1 · a = (-1·3, -1·1) = (-3, -1) misma longitud, sentido OPUESTO 0 · a = (0·3, 0·1) = (0, 0) "colapsa" al origen, ya no es flecha
De ahí el nombre de la operación: "multiplicar por escalar". La regla general, para cualquier vector y cualquier escalar k:
Mueve el deslizador. La flecha rosa pálido es a original; la oscura es k·a.
Junta las dos operaciones: escala dos vectores y súmalos. Eso es una combinación lineal. ¿Por qué "lineal"? Porque si mueves solo uno de los pesos mientras el otro queda fijo, la punta del resultado se mueve en línea recta — pruébalo en el interactivo de la sección siguiente. Ejemplo concreto con nuestros vectores:
1) escalamos a: 2·a = 2·(3, 1) = (6, 2) 2) tomamos b tal cual: b = (1, 2) 3) los sumamos: (6, 2) + (1, 2) = (6+1, 2+2) = (7, 4) Resultado: 2·a + b = (7, 4)
La forma general:
Cambia los dos pesos k₁ y k₂ y mira cómo la punta del resultado verde se mueve por el plano. Casi cualquier punto puede alcanzarse combinando a y b.
k₁ y k₂, alcanzas
cualquier coordenada (x, y) que se te ocurra. A esto se le llama generar el plano —
una idea fundamental que reaparecerá en muchas formas (bases, dimensión, espacios vectoriales…).
Y la otra cara de la moneda: todo punto del plano es una combinación lineal de a
y b. Esto suena abstracto, pero es exactamente la operación que usan los motores de búsqueda, los modelos de inteligencia artificial y los videojuegos 3D por dentro. No tienes que entender eso ahora — solo saber que esta idea tan simple aparece en todos esos lugares.
a = (3, 1) y un vector que sea el doble, 2a = (6, 2). Verás que solo llegas a puntos en esa misma línea. Por eso la condición es que los vectores no apunten en la misma dirección.
| Operación | Qué hace | Ejemplo con a=(3,1) |
|---|---|---|
| k · a | Estira/encoge/voltea | 2·a = (6, 2) |
| k₁·a + k₂·b | Combinación lineal | 2·a + b = (7, 4) |
En la próxima lección llega la operación más importante del curso: el producto punto, que combina dos vectores y devuelve un solo número con una interpretación geométrica muy poderosa.