¿Qué quiere decir sumar dos flechas? Visualmente: pegar una al final de la otra. Numéricamente: sumar sus pares de números componente a componente. Las dos cosas son lo mismo — y es bonito ver por qué.
De la lección 1 tenemos a = (3, 1). Le presentamos a su compañero, que usaremos en TODO el curso:
La pregunta de la lección: ¿qué significa sumar estos dos vectores? ¿Cuánto vale a + b?
La forma intuitiva de sumar dos flechas: recorre la primera, y desde donde llegues, recorre la segunda. La flecha desde el inicio hasta el final es la suma:
Lo que viste arriba ("3 a la derecha + 1 a la derecha = 4 a la derecha; 1 arriba + 2 arriba = 3 arriba") tiene una fórmula sencillísima. Usamos subíndices para abreviar: a₁ significa "la primera componente de a" (el número de la izquierda) y a₂ es "la segunda" (el de la derecha). El subíndice es solo un número pequeño que dice la posición:
1) sumar la primera componente (lo de la derecha): 3 + 1 = 4 2) sumar la segunda componente (lo de arriba): 1 + 2 = 3 3) juntar los resultados como par: a + b = (4, 3)
Las dos flechas rosa y azul tienen sus puntas arrastrables. La flecha verde es la suma — se ajusta sola. Mueve las flechas y comprueba que siempre llega al mismo punto que recorrer una y luego la otra.
Otra forma común de dibujar la suma: pon los dos vectores saliendo del mismo origen. Forman dos lados de un paralelogramo — una figura de cuatro lados donde los opuestos son paralelos, como un rectángulo inclinado. La diagonal de esa figura es la suma.
Y se ve algo bonito: da igual cuál sumes primero (a + b o b + a)
— el resultado es el mismo. Antes de ponerle nombre, la idea: el orden no altera el resultado.
A eso se le llama conmutatividad — igual que con números normales (3 + 5 = 5 + 3).
a + b = b + a. El orden no cambia el resultado. Puedes sumar las flechas en cualquier dirección — siempre llegas al mismo punto.
Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo. Y el opuesto de un vector es el mismo con las componentes con el signo cambiado (la misma flecha, hacia el otro lado):
opuesto de b: el negativo de cada componente
-b = (-1, -2)
a − b = a + (-b) = (3, 1) + (-1, -2)
= (3 + (-1), 1 + (-2))
= (2, -1)
Nota: 3 + (-1) = 3 − 1 = 2. Y 1 + (-2) = 1 − 2 = -1.
Sumar un número negativo es lo mismo que restar — no hay truco aquí.
Visualmente: en vez de "sumar la flecha b", sumas "b al revés".
| Idea | Cómo |
|---|---|
| Sumar vectores visual | Pegar la cola del segundo al final del primero |
| Sumar vectores numérico | Sumar componente a componente |
| Paralelogramo | Dos caminos = la diagonal; el orden no importa |
| Restar | a − b = a + (−b) |
a + b = b + a. Con nuestros vectores del curso: a + b = (4, 3).
En la próxima lección vemos qué pasa cuando multiplicas un vector por un número — lo estiras o lo encoges.