LECCIÓN 7

¿Qué es una matriz?

Una matriz parece una simple tabla de números — y lo es. Pero esconde dos lecturas potentes: es una colección de vectores apilados, Y al mismo tiempo es una "máquina" que transforma el espacio. Las dos cosas son la misma cosa.

Recuerda de las lecciones anteriores: dominaste los vectores — listas de números con los que se suma, escala y calcula producto punto. Hoy aparece el siguiente protagonista: la matriz, que no es más que una tabla rectangular de números que actúa como una "máquina" que transforma vectores.

1Una matriz es… una tabla de números

Empecemos por lo más simple. Una matriz es una rejilla rectangular de números, con filas y columnas:

M = [

1	2
0	1

]

Esta es la matriz que usaremos en TODO el curso. Léela como: "uno, dos arriba; cero, uno abajo".

Esta matriz tiene 2 filas y 2 columnas. Decimos que es "2 × 2" (siempre filas primero, columnas después).
Cada número es una entrada o elemento.
La notación M[i][j] (o M_ij) significa: el elemento de la fila i, columna j. Empezando a contar desde 1.

✍️ Localizando elementos en nuestra M

M[1][1] = 1     fila 1, columna 1 → arriba-izquierda
M[1][2] = 2     fila 1, columna 2 → arriba-derecha
M[2][1] = 0     fila 2, columna 1 → abajo-izquierda
M[2][2] = 1     fila 2, columna 2 → abajo-derecha

2Primera lectura: una matriz es un montón de vectores apilados

Lee la matriz por columnas: cada columna es un vector. En nuestra M:

[

1	2
0	1

] = (1, 0) y (2, 1) como dos columnas

imagen 1 · las dos columnas de M, dibujadas como vectores

Las dos columnas de M, dibujadas como vectores desde el origen.

Igual podríamos leerla por filas (cada fila también es un vector). Cualquiera de las dos lecturas es válida, según para qué la necesites.

3Segunda lectura — y la más poderosa: una matriz "transforma" el espacio

Aquí está la idea que cambia todo. Una matriz se puede ver como una máquina: le metes un vector por un lado y sale otro vector por el otro. Es decir, "transforma" el espacio.

vector entrada → matriz M → vector salida

Por ejemplo, nuestra M es una "máquina de inclinar". El nombre técnico es cizalla — imagina una baraja de cartas apilada: si empujas las cartas de arriba hacia un lado sin mover la base, eso es una cizalla. Si le metes un vector a M, sale otro distinto — pero de forma predecible: la operación es matriz por vector, que veremos en la próxima lección.

🔑 Dos interpretaciones, una sola cosa: una matriz es a la vez una tabla de números, una colección de vectores, y una transformación del espacio. Igual que un vector es a la vez "flecha" y "par de números", una matriz es "tabla" y "transformación". Las dos lecturas son válidas y útiles según el contexto.

4Matrices que conviene reconocer

[

1	0
0	1

]

Identidad (I)

No hace nada. El vector que entra sale igualito. Igual que multiplicar por 1 deja el número sin cambiar (5 × 1 = 5), aplicar la matriz identidad deja el vector sin cambiar. Por eso es el "uno" de las matrices.

[

2	0
0	2

]

Escalado uniforme

Estira todo al doble (en ambas direcciones).

[

0	-1
1	0

]

Rotación 90°

Gira el plano 90° hacia la izquierda.

[

1	2
0	1

]

M (la nuestra)

Cizalla horizontal: inclina el plano "hacia un lado".

Lo que cada matriz hace al espacio es la lección 9. Pero quédate con la idea: cada matriz es una operación geométrica distinta. Y solo son 4 números (en 2D).

5Matrices que no son cuadradas

Una matriz no tiene por qué ser cuadrada. Puede tener cualquier número de filas y columnas. En redes neuronales, los "pesos" son los números que la red aprende — uno por cada conexión entre una entrada y una neurona. Si la capa tiene 3 entradas y 5 neuronas, necesita 3 × 5 = 15 pesos, uno por cada par. Eso es una matriz:

Capa con 3 entradas y 5 neuronas → matriz de pesos de 5 × 3 (15 números).
Capa con 768 entradas y 512 neuronas (típico en modelos de lenguaje) → matriz de pesos de 512 × 768 (¡393.216 números!).

📐 La convención: matriz m × n = m filas, n columnas. Siempre en ese orden. Y cuando dos matrices se multiplican (lección 10), las dimensiones tienen que "encajar" — esto significa que el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. Si no, la multiplicación no existe. Lo veremos con calma en la lección 10.

6Lo que aprendiste

Lectura	Qué es
Tabla	Una rejilla de números con filas y columnas
Colección de vectores	Cada columna (o fila) es un vector
Transformación	Una "máquina" que toma vectores y devuelve vectores

Lo que aprendiste hoy: una matriz es una tabla rectangular de números. Se puede leer como colección de vectores (cada columna es un vector) o como una "máquina" que transforma vectores. Nuestra matriz del curso es M = [[1, 2], [0, 1]] — una cizalla (inclina el plano). El tamaño se escribe m×n: m filas, n columnas.

En la próxima lección usamos M de verdad: calculamos matriz por vector, la operación más usada del álgebra lineal y el corazón de cada capa de red neuronal.