LECCIÓN 8

Varias variables

Hasta ahora algo dependía de una sola cosa (el tiempo). Pero el error de una red depende de millones de pesos a la vez. El primer paso para manejarlo: la derivada parcial — mover una perilla y dejar las demás quietas.

Recuerda de la lección anterior: la derivada mide sensibilidad — cuánto cambia la salida por un pequeño empujón en la entrada. En una red neuronal, esa sensibilidad del error a cada peso es la brújula del entrenamiento. Pero hasta ahora solo había una entrada. Hoy el salto: ¿y si hay dos entradas a la vez?

1. Un terreno con relieve

Cambiemos de ejemplo a uno con dos entradas. Imagina estar parado en un terreno. Tu altura depende de dónde estés: cuánto te has movido al este (lo llamamos x) y cuánto al norte (lo llamamos y).

Antes de la fórmula, mira algunos valores concretos para hacerte una idea del terreno:

(x, y)	(0, 0)	(3, 0)	(0, 1)	(3, 1)	(2, 2)
altura	0	9	1	10	8

¿Notas el patrón? La altura es la suma de los cuadrados de x e y. El fondo del valle está en el centro (x=0, y=0, altura 0). La fórmula que produce estos valores es:

altura = x² + y²

Comprobación: en (3, 1): 3² + 1² = 9 + 1 = 10 ✓. Cuanto más te alejas del centro en cualquier dirección, más alto subes.

2. La idea clave: mueve UNA cosa a la vez

"¿Cuál es la pendiente del terreno?" no tiene una sola respuesta: depende de hacia dónde camines. Así que preguntamos por separado:

Derivada parcial respecto a x — se escribe ∂/∂x (se lee "del sobre del-x"; el símbolo ∂ es como una "d" especial que usan los matemáticos para derivadas parciales): la pendiente si caminas solo hacia el este, manteniendo el norte (y) congelado.
Derivada parcial respecto a y — se escribe ∂/∂y (se lee "del sobre del-y"): la pendiente si caminas solo hacia el norte, con el este (x) congelado.

Una derivada parcial es una derivada normal y corriente: solo que tratas todas las demás variables como si fueran números fijos. Mueves una perilla, congelas el resto. Nada nuevo que aprender, solo "ignora las otras por un momento".

3. La calculamos en el punto (x=3, y=1)

✍️ Parcial respecto a x (congelo y=1)

Si y está fijo en 1, la altura solo depende de x:
   altura = x² + (1)²  =  x² + 1
La derivada de eso respecto a x:
   El "+1" es una constante (no depende de x) → su derivada es 0 (recuerda: la derivada de un número fijo es siempre cero)
   La derivada de x² respecto a x es 2x (regla de la potencia)
   ∂/∂x = 2x + 0 = 2x
En x=3:  2·3 = 6
→ caminando al este, el terreno sube con pendiente 6 (¡empinado!)

✍️ Parcial respecto a y (congelo x=3)

Si x está fijo en 3, la altura solo depende de y:
   altura = (3)² + y²  =  9 + y²
La derivada respecto a y:
   El "9" es una constante (no depende de y) → su derivada es 0
   La derivada de y² respecto a y es 2y
   ∂/∂y = 0 + 2y = 2y
En y=1:  2·1 = 2
→ caminando al norte, el terreno sube con pendiente 2 (más suave)

En este punto, el terreno está más empinado hacia el este (6) que hacia el norte (2).

🎮 Muévete por el terreno

Coloca el punto y observa las dos pendientes parciales. Las circunferencias son las "curvas de nivel" (puntos a la misma altura), como en un mapa topográfico.

este (x) 3.0

norte (y) 1.0

4. Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: con varias variables, la pendiente depende de la dirección. La derivada parcial (símbolo ∂, se lee "del") mide la pendiente moviendo una variable y congelando las demás — como empujar una sola perilla de un aparato. En el valle x²+y²: ∂/∂x = 2x (pendiente al este) y ∂/∂y = 2y (pendiente al norte). En el punto (3,1): pendiente 6 al este, pendiente 2 al norte.

La próxima lección junta esas dos pendientes en un solo objeto — el gradiente — que apunta en una dirección muy especial.