LECCIÓN 12 · AVANZADO

Inversa y sistemas de ecuaciones

Si una matriz "transforma", su inversa "deshace". Y resulta que tener una matriz inversa es exactamente lo mismo que poder resolver un sistema de ecuaciones lineales. Dos caras de la misma moneda.

Recuerda de la lección anterior: el determinante mide el "factor de cambio de área" de una matriz. Si det = 0, la matriz aplastó el espacio — perdió información de forma irreversible. Ese "irreversible" es la clave de la lección de hoy: ¿cuándo se puede deshacer una transformación?

1La matriz que deshace

Si M es una "máquina que transforma vectores", su inversa es la máquina que deshace esa transformación. La escribimos M⁻¹ — se lee "M inversa". El superíndice −1 es la notación matemática para "la operación inversa de M", igual que dividir es la inversa de multiplicar. Si M te lleva del vector a al vector b, entonces M⁻¹ te devuelve de b a a:

M⁻¹ · M = I (la identidad — "no hacer nada")

Combinarlas no cambia nada: aplicar M y luego M⁻¹ devuelve el vector original. Como abrir un grifo y cerrarlo: estás como al principio.

2¡No todas las matrices tienen inversa!

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante NO es cero. Tiene todo el sentido: si det = 0, la matriz aplastó el espacio (lección 11). Y aplastar algo es irreversible: no puedes "des-aplastar" una hoja de papel y recuperar exactamente lo que había. Información perdida.

det ≠ 0 → la matriz es invertible. Existe M⁻¹.
det = 0 → no es invertible. Le decimos singular.

3La fórmula para una matriz 2×2

Hay una fórmula directa, fácil de memorizar:

Donde a es la celda arriba-izquierda, b arriba-derecha, c abajo-izquierda y d abajo-derecha:

si M = [

a	b
c	d

] entonces M⁻¹ = (1/det) · [

d	-b
-c	a

]

"Intercambias a y d (las esquinas de la diagonal principal), cambias de signo b y c, divides todo por el determinante." La razón por la que esto funciona: la fórmula está diseñada para que al multiplicar M × M⁻¹, los productos se cancelen en todos los sitios excepto en la diagonal — exactamente la identidad. No necesitas memorizar la demostración; solo la receta. Y nota que si det = 0, dividirías entre cero — por eso no existe inversa. Probémoslo con nuestra M:

✍️ Inversa de M = [[1, 2], [0, 1]]

1) calcular el determinante:  det(M) = 1·1 − 2·0 = 1     (¡no es cero! ✓)

2) intercambiar diagonales y cambiar signos:
   M⁻¹ = (1/1) · [[1, -2], [0, 1]]
        = [[1, -2], [0, 1]]

3) comprobar M · M⁻¹ = I:
   fila1·col1 = (1, 2)·(1, 0)  = 1+0 = 1 ✓
   fila1·col2 = (1, 2)·(-2, 1) = -2+2 = 0 ✓
   fila2·col1 = (0, 1)·(1, 0)  = 0+0 = 0 ✓
   fila2·col2 = (0, 1)·(-2, 1) = 0+1 = 1 ✓

   M · M⁻¹ = [[1, 0], [0, 1]] = I    ¡es la identidad!

Geométricamente: M era una cizalla "inclinar a la derecha"; M⁻¹ es "inclinar a la izquierda". Una deshace a la otra.

4Lo bonito: resolver sistemas de ecuaciones

Imagina un sistema de ecuaciones lineales como este:

1·x + 2·y = 5
0·x + 1·y = 1

Lo escribimos en forma matricial — y aquí está la magia:

[

1	2
0	1

] · [

] = [

]

Es decir: M · v = b, donde queremos encontrar el vector v = (x, y). La solución es directa: multiplicar ambos lados por M⁻¹:

M · v = b → v = M⁻¹ · b

✍️ Resolvamos el sistema usando M⁻¹ = [[1, -2], [0, 1]]

v = M⁻¹ · b = [[1, -2], [0, 1]] · (5, 1)

x = 1·5 + (-2)·1 = 5 − 2 = 3
y = 0·5 +    1·1 = 0 + 1 = 1

→ v = (x, y) = (3, 1)

Comprobación:  1·3 + 2·1 = 3+2 = 5 ✓
               0·3 + 1·1 = 0+1 = 1 ✓     ¡correcto!

🎯 Idea preciosa: "tener la matriz inversa" y "saber resolver el sistema" son exactamente el mismo problema. Por eso cuando det = 0 (sin inversa) significa también que el sistema no tiene una solución única — puede tener infinitas o ninguna. Geométrico, algebraico, y todo cuadra.

5Pruébalo: invierte una matriz

Modifica M y verás su inversa calculada al instante (cuando exista). El producto M · M⁻¹ siempre tiene que ser la identidad.

M[1,1]1.0

M[1,2]2.0

M[2,1]0.0

M[2,2]1.0

💡 Prueba M = [[1, 2], [2, 4]] (filas paralelas): det = 0, ¡no hay inversa!

6Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: la inversa M⁻¹ deshace la transformación de M. Existe solo si det(M) ≠ 0. Para una matriz 2×2: intercambias la diagonal principal, cambias el signo a la otra diagonal, y divides todo por el determinante. Y resolver el sistema M·v = b es equivalente a calcular v = M⁻¹·b — la inversa y el sistema son dos caras del mismo problema. Para nuestra M: M⁻¹ = [[1, -2], [0, 1]].

La última lección del curso abre la puerta a los autovalores — las "direcciones especiales" de una matriz, que aparecen en muchas técnicas de IA modernas.