LECCIÓN 9

Transformaciones del plano

Ahora lo divertido. Cada matriz "deforma" el espacio entero de una forma específica: lo rota, lo escala, lo aplasta, lo refleja. Verlo en vivo es lo que vuelve obvio el álgebra lineal.

1No solo un vector — TODO el plano cambia

En la lección 8 vimos que M tomaba el vector a y lo movía a otro sitio. Pero la matriz hace lo mismo con TODO vector del plano: a cada punto le asigna un nuevo punto. Es como agarrar la hoja de papel y deformarla.

🎯 Truco visual potentísimo: aplicas la matriz a una rejilla (la cuadrícula cuadrada del plano) y miras qué pinta toma la rejilla después. Si los cuadrados se vuelven rombos → cizalla. Si se vuelven cuadrados más grandes → escalado. Si la rejilla rota → rotación. Lo verás en el demo de abajo.

2El catálogo (solo 4 números por transformación)

Estas son las transformaciones básicas. Cada una es solo una matriz 2×2:

Identidad[[1,0],[0,1]]
no hace nada

Escalar ×2[[2,0],[0,2]]
todo al doble

Estirar X[[2,0],[0,1]]
solo en horizontal

Estirar Y[[1,0],[0,2]]
solo en vertical

Rotar 90°[[0,-1],[1,0]]
gira a la izquierda

Rotar 180°[[-1,0],[0,-1]]
media vuelta

Espejo X[[1,0],[0,-1]]
refleja horizontal

Espejo Y[[-1,0],[0,1]]
refleja vertical

Cizalla H[[1,1],[0,1]]
inclina hacia un lado

Nuestra M[[1,2],[0,1]]
cizalla fuerte

Proyección X[[1,0],[0,0]]
aplasta al eje x

Colapso[[0,0],[0,0]]
todo al origen

3Pruébalas todas (esta es LA visualización del álgebra lineal)

Click en una transformación de abajo. La rejilla original (gris) se deforma en la rejilla transformada (rosa). El vector a también se mueve.

Identidad(no hace nada)

×2 uniformetodo doble

Estirar Xsolo horizontal

Rotar 90°↺

Rotar 180°↻↻

Espejo X↕

Espejo Y↔

Cizalla Hinclinar lado

Nuestra Mcizalla fuerte

Proyectar Xaplastar

4Truco infalible para "leer" una matriz

Aquí va una idea preciosa que te ahorrará mucho lío. Mira las columnas de una matriz:

🔑 Las columnas de M te dicen dónde van a parar los vectores base (1, 0) y (0, 1). La primera columna es la nueva posición de "una unidad a la derecha". La segunda columna es la nueva posición de "una unidad arriba". Si entiendes adónde van esos dos vectores, sabes cómo se transforma todo el plano (porque todo lo demás son combinaciones lineales de ellos).

✍️ Comprobémoslo con nuestra M = [[1, 2], [0, 1]]

M · (1, 0) = (1·1 + 2·0, 0·1 + 1·0) = (1, 0)    ← (1,0) no se mueve (primera columna de M)
M · (0, 1) = (1·0 + 2·1, 0·0 + 1·1) = (2, 1)    ← (0,1) se va a (2,1) (segunda columna)

→ Por eso M "estira" hacia un lado: la vertical (0,1) se ha inclinado hacia (2,1).
   La rejilla rectangular se vuelve un paralelogramo inclinado.

5Por qué te importa en IA

Una red neuronal apila muchas matrices, una por capa. Cada matriz "deforma" el espacio de los datos a su manera. Los pesos que aprende la red no son más que las entradas de esas matrices. Entrenar una red = encontrar las matrices que mejor deforman el espacio para resolver el problema.

Por ejemplo: una capa de un Transformer "proyecta" cada palabra a un nuevo espacio (las famosas Q, K, V de la atención). Eso es exactamente matriz · vector con matrices aprendidas. El resto es repetir esta idea.

6Resumen

Una matriz transforma TODO el plano de una sola forma específica: rota, escala, inclina, refleja o aplasta. Sus 4 números (en 2D) codifican toda esa operación. Truco: las columnas dicen adónde van los vectores base. En la próxima lección vemos qué pasa si aplicas dos transformaciones seguidas — y descubrirás que también es una matriz, calculable multiplicando las dos.