LECCIÓN 9

Transformaciones del plano

Ahora lo divertido. Cada matriz "deforma" el espacio entero de una forma específica: lo rota, lo escala, lo aplasta, lo refleja. Verlo en vivo es lo que vuelve obvio el álgebra lineal.

Recuerda de la lección anterior: aprendiste que multiplicar una matriz M por un vector es hacer el producto punto de cada fila de M con el vector. Con nuestra M = [[1,2],[0,1]] y a = (3, 1), el resultado fue M · a = (5, 1). Hoy vemos que M no solo transforma a — transforma el plano entero.

1No solo un vector — TODO el plano cambia

M hace lo mismo con todo vector del plano: a cada punto le asigna un nuevo punto. Es como agarrar la hoja de papel y deformarla.

🎯 Truco visual potentísimo: aplicas la matriz a una rejilla (la cuadrícula cuadrada del plano) y miras qué pinta toma la rejilla después. Si los cuadrados se vuelven rombos → cizalla. Si se vuelven cuadrados más grandes → escalado. Si la rejilla rota → rotación. Lo verás en el demo de abajo.

2El catálogo (solo 4 números por transformación)

Estas son las transformaciones básicas. Cada una es solo una matriz 2×2:

Identidad[[1,0],[0,1]]
no hace nada

Escalar ×2[[2,0],[0,2]]
todo al doble

Estirar X[[2,0],[0,1]]
solo en horizontal

Estirar Y[[1,0],[0,2]]
solo en vertical

Rotar 90°[[0,-1],[1,0]]
gira a la izquierda

Rotar 180°[[-1,0],[0,-1]]
media vuelta

Espejo X[[1,0],[0,-1]]
refleja horizontal

Espejo Y[[-1,0],[0,1]]
refleja vertical

Cizalla H[[1,1],[0,1]]
inclina hacia un lado

Nuestra M[[1,2],[0,1]]
cizalla fuerte

Proyección X[[1,0],[0,0]]
aplasta al eje x

Colapso[[0,0],[0,0]]
todo al origen

3🎮 Pruébalas todas — la visualización que lo hace clic

Click en una transformación de abajo. La rejilla original (gris) se deforma en la rejilla transformada (rosa). El vector a también se mueve.

Identidad(no hace nada)

×2 uniformetodo doble

Estirar Xsolo horizontal

Rotar 90°↺

Rotar 180°↻↻

Espejo X↕

Espejo Y↔

Cizalla Hinclinar lado

Nuestra Mcizalla fuerte

Proyectar Xaplastar

4Truco infalible para "leer" una matriz

Aquí va una idea preciosa que te ahorrará mucho lío. Mira las columnas de una matriz:

🔑 Las columnas de M te dicen dónde van a parar los vectores base (1, 0) y (0, 1). La primera columna es la nueva posición de "una unidad a la derecha". La segunda columna es la nueva posición de "una unidad arriba". Si entiendes adónde van esos dos vectores, sabes cómo se transforma todo el plano — porque cualquier otro vector es una mezcla (combinación) de esos dos vectores base, y esas mezclas (escalar + sumar) se transforman con la misma matriz.

✍️ Comprobémoslo con nuestra M = [[1, 2], [0, 1]]

M · (1, 0) = (1·1 + 2·0, 0·1 + 1·0) = (1, 0)    ← (1,0) no se mueve (primera columna de M)
M · (0, 1) = (1·0 + 2·1, 0·0 + 1·1) = (2, 1)    ← (0,1) se va a (2,1) (segunda columna)

→ Por eso M "estira" hacia un lado: la vertical (0,1) se ha inclinado hacia (2,1).
   La rejilla rectangular se vuelve un paralelogramo inclinado.

5Por qué te importa en IA

Una red neuronal apila muchas matrices, una por capa. Cada matriz "deforma" el espacio de los datos a su manera. Los pesos que aprende la red no son más que las entradas de esas matrices. Entrenar una red = encontrar las matrices que mejor deforman el espacio para resolver el problema.

Por ejemplo: en los modelos de lenguaje como los que hay detrás de los asistentes de IA, cada capa "proyecta" el vector de cada palabra a un nuevo espacio — eso es exactamente matriz · vector con matrices aprendidas. Las letras Q, K y V son nombres de esas matrices (las verás en el curso de Transformer). Lo importante ahora es entender que son transformaciones lineales como las que acabas de ver.

6Lo que aprendiste

Lo que aprendiste hoy: una matriz transforma todo el plano de una forma específica — rota, escala, inclina, refleja o aplasta. Sus 4 números codifican toda esa operación. El truco para "leer" una matriz: mira sus columnas — te dicen adónde van los vectores base (1,0) y (0,1), y eso te dice cómo se transforma todo lo demás.

En la próxima lección vemos qué pasa si aplicas dos transformaciones seguidas — y descubrirás que el resultado también es una sola matriz.